Cuadrado de Binomio

19/05/2020 · Actualizado: 16/02/2022

Aprende a calcular un CUADRADO de BINOMIO de forma geométrica o algebraicamente a través de su definición utilizando ejemplos y ejercicios resueltos.

Antes de comenzar debes recordar que un binomio es una expresión algebraica que se compone por dos términos algebraicos unidos por una suma o resta, como por ejemplo: (x+y) o (3a+5b)

Índice de contenido

Definición

Es el área de un cuadrado cuyo lado es un binomio, es decir, (a+b)^{2} o (a-b)^{2} corresponde al cuadrado de binomio el cual se puede resolver de forma geométrica o algebraica, y a través de estas se obtiene una fórmula general para resolver cualquier ejercicio rápidamente.

¿De donde viene la formula del cuadrado de binomio?

La fórmula puede obtener mediante dos demostraciones, la geométrica o la algebraica, a continuación detallaré ambas.

Demostración geométrica

Para la demostración geométrica utilizaremos como medida del lado del cuadrado (a+b)^{2}, por lo que se debe dibujar el cuadrado con sus dimensiones, tal como se muestra en la imagen:

Como puedes observar al no conocer las medidas de a y b separé el cuadrado interior con diferentes dimensiones para cada letra, formándose en su interior dos cuadrados y dos rectángulos. Para calcular el área total se debe obtener la superficie de cada una de las secciones en sus interior, que son las siguientes:

  • Cuadrado 1: a \cdot a = a^{2}
  • Cuadrado 2: b \cdot b = b^{2}
  • Rectángulo 1: a \cdot b = ab
  • Rectángulo 2: a \cdot b = ab

Ahora se deben sumar las superficies interiores para obtener el área total.

a^{2}+ab+ab+b^{2}

a^{2}+2ab+b^{2}

Finalmente obtenemos la fórmula (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}

Demostración algebraica

Utilizaremos (a-b)^{2} para esta demostración y lo primero es aplicar el concepto de potencia, en este caso, la base se multiplica dos veces:

(a-b)^{2} =(a-b)(a-b)

Los binomios resultantes se multiplican término a término por lo que debemos resolver lo siguiente:

  • Multiplicación 1: a \cdot a = a^{2}
  • Multiplicación 2: a \cdot -b = -ab
  • Multiplicación 3: -b \cdot a = -ab
  • Multiplicación 4: -b \cdot -b = b^{2}

(a-b)^{2} =(a-b)(a-b)

(a-b)^{2} = a^{2}+-ab+-ab+b^{2}

(a-b)^{2} = a^{2}+-2ab+b^{2}

(a-b)^{2} = a^{2}-2ab+b^{2}

Por lo que obtenemos la fórmula (a-b)^{2} = a^{2}-2ab+b^{2}

Formula del cuadrado de binomio

Analizando las demostraciones anteriores se puede deducir que un cuadrado de binomio es igual al cuadrado del primer término, más (o menos si el binomio se une con una diferencia) el doble del producto del primer por el segundo término, más el cuadrado del segundo término, es decir, matemáticamente:

(a\pm b)^{2}= a^{2}\pm 2\cdot a\cdot b+ b^{2}

Ejemplos paso a paso sobre como aplicar el cuadrado de binomio

Calcular geométricamente

(2a+5b)^{2}

Paso 1: Dibujar el cuadrado

Paso 2: Calcular superficies interiores

Paso 3: Sumar las superficies interiores

4a^{2}+10ab+10ab+ 25b^{2}

4a^{2}+20ab+ 225b^{2}

\therefore (2a+5b)^{2}=4a^{2}+20ab+ 225b^{2}

Calcular algebraicamente

(4x-y)^{2}

(4x-y)^{2} =(4x-y)(4x-y)

(4x-y)^{2} = 16x^{2}+-4xy+-4xy+y^{2}

(4x-y)^{2} = 16x^{2}+-8xy+y^{2}

(4x-y)^{2} = 16x^{2}-8xy+y^{2}

\therefore (4x-y)^{2} = 16x^{2}-8xy+y^{2}

Calcular aplicando la formula

(9m-5n)^{2}

(9m- 5n)^{2}= (9m)^{2}+ 2\cdot 9m\cdot -5n+ (5n)^{2}

(9m- 5n)^{2}= 81m^{2}+ -90mn+ 25n^{2}

\therefore (9m- 5n)^{2}= 81m^{2}-90mn+ 25n^{2}

Imágenes acerca del cuadrado de binomio

Recursos

Presentaciones

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Guías de aprendizajes

Nivel principiante (Online)Ver ejercicios
WordVer carpeta

Diego Gallardo

Profesor de Matemática en enseñanza básica y media, aficionado a la creación de contenidos y fan de pederse en el cerro ⛺.

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