Cubo de Binomio

30/05/2020 · Actualizado: 16/02/2022

Aprende desde cero o profundiza tus conocimientos sobre el CUBO DE BINOMIO a través de su definición, demostraciones, ejemplos y recursos de aprendizaje.

Antes de comenzar puedes ver el producto notable anterior "Cuadrado de binomio" con su definición, demostraciones y ejemplos.

Índice de contenido

¿De donde viene la formula del binomio al cubo?

Es el volumen de un cubo cuyo lado es un binomio, es decir, matemáticamente hablando \left (a + b \right )^{3} o \left (a - b \right )^{3}.

Este es un producto notable que se puede demostrar geometricamente como algebraicamente, de donde se obtiene la formula para resolver cual ejercicio de forma general.

Demostración geométrica

Puedes representar gráficamente un producto notable a partir de un cubo de arista \left (a + b \right )

Al descomponerlo en cubos y prismas más pequeños, se obtienen los siguientes cuerpos con sus respectivos volúmenes.

Al sumar los volúmenes de cada cuerpo se obtiene el volumen del cubo original

a^{3}+a^{2}b+a^{2}b+a^{2}b+ab^{2}+ab^{2}+ab^{2}+b^{3}

Reduciendo términos semejantes

a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}

\therefore \left (a + b \right )^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}

Demostración algebraica

En este caso utilizaré el binomio de lado \left (a - b \right )

Para calcular el volumen de un cubo elevamos su lado a tres y aplicamos el concepto de potencia.

\left (a - b \right )^{3}=\left (a - b \right )\cdot\left (a - b \right )\cdot\left (a - b \right )

Aquí se debe multiplicar término a término. Comenzare con los dos primeros binomios.

\left (a - b \right )\cdot\left (a - b \right )

a^{2}-ab-ab+b^{2}

a^{2}-2ab+b^{2}

Entonces ahora tenemos que:

\left (a - b \right )^{3}=\left (a^{2}-2ab+b^{2} \right )\cdot\left (a - b \right )

Repetimos el proceso de multiplicar término a término, esta vez con el trinomio y el binomio.

\left (a^{2}-2ab+b^{2} \right )\cdot\left (a - b \right )

a^{3}-a^{2}b-2a^{2}b+2ab^{2}+ab^{2}-b^{3}

Se reducen los términos semejantes

a^{3}-a^{2}b-2a^{2}b+2ab^{2}+ab^{2}-b^{3}

a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}

\therefore \left (a - b \right )^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}

Fórmula para aplicar el cubo de binomio

A partir de las demostraciones anteriores se obtiene la fórmula que se puede aplicar a cualquier cubo de binomio.

\therefore \left (a\pm b \right )^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}

Ejemplos sobre el cubo de binomio

Para efectos de cálculo no se utilizan los métodos para realizar las demostraciones, sino que se aplica directamente la fórmula general con el fin de acortar tiempo y espacio de cálculo.

Ejemplo 1: Calcular \left (3x+ y \right )^{3}

Para aplicar la fórmula tenemos que a=3x y b=y

\left (a+ b \right )^{3}=a^{3}+ 3a^{2}b+3ab^{2}+ b^{3}

\left (3x+ y \right )^{3}=\left (3x \right )^{3}+3\cdot\left (3x \right )^{2}\cdot y+3\cdot 3x \cdot y^{2}+y^{3}

Primero se resuelven las potencias y luego las multiplicaciones

\left (3x+ y \right )^{3}=\left (3x \right )^{3}+3\cdot\left (3x \right )^{2}\cdot y+3\cdot 3x \cdot y^{2}+y^{3}

\left (3x+ y \right )^{3}=9x^{3}+3\cdot 9x^{2}\cdot y+3\cdot 3x \cdot y^{2}+y^{3}

\therefore \left (3x+ y \right )^{3}=9x^{3}+27x^{2}y+9xy^{2}+y^{3}

Ejemplo 2: Calcular \left (2m- 5n \right )^{3}

Reemplazando datos en la formula

\left (a- b \right )^{3}=a^{3}- 3a^{2}b+3ab^{2}- b^{3}

\left (2m- 5n \right )^{3}=\left (2m \right )^{3}-3\cdot\left (2m \right )^{2}\cdot 5n+3\cdot 2m \cdot \left (5n \right )^{2}-\left (5n \right )^{3}

Desarrollo:

\left (2m- 5n \right )^{3}=\left (2m \right )^{3}-3\cdot\left (2m \right )^{2}\cdot 5n+3\cdot 2m \cdot \left (5n \right )^{2}-\left (5n \right )^{3}

\left (2m- 5n \right )^{3}=8m^{3}-3\cdot 4m^{2} \cdot 5n+3\cdot 2m \cdot25n^{2}-125n^{3}

\left (2m- 5n \right )^{3}=8m^{3}-60m^{2}n+150mn^{2}-125n^{3}

Respuesta

\left (2m- 5n \right )^{3}=8m^{3}-60m^{2}n+150mn^{2}-125n^{3}

Recursos

Presentaciones

Power PointVer carpeta

Guías de aprendizaje

Nivel principiante (Online - 10 ejercicios)Ver ejercicios
WordVer carpeta

Diego Gallardo

Profesor de Matemática en enseñanza básica y media, aficionado a la creación de contenidos y fan de pederse en el cerro ⛺.

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