Factorización de Trinomios

Aprende la factorización de trinomios de la forma $x^{2}+bx + c$ y trinomios cuadrados perfectos mediante productos notables.

Un trinomio ordenado es una expresión de la forma $x^{2}+bx + c$ , donde a, b, c y x representan números reales. Estas expresiones algebraicas son el resultado de calcular productos notables, por lo que estos se utilizan para realizar la factorización de trinomios utilizando la operación inversa.

Tabla de contenidos

Factorizar un trinomio cuadrado perfecto

El trinomio cuadrado perfecto es el resultado de la multiplicación de un binomio por si mismo, por lo que utilizamos el cuadrado de binomio para calcular esta factorización.

Para identificar esta factorización el primer y tercer término de la expresión deben ser raíces cuadradas perfectas, y el segundo término corresponde al doble del primer término por el segundo término del binomio a factorizar. Vamos a ver unos ejemplos:

Ejemplo 1

Factorizar $a^{2} + 14a + 49$

Desarrollo:

Paso 1: Calcular la raíz cuadrada del primer y tercer término de la expresión para obtener el primer y segundo término del binomio cuadrado.

$\sqrt{a^{2}} = a$
$\sqrt{49} = 7$

De esta forma sabemos que el binomio a factorizar es (a + 7), pero para confirmar realizamos el paso 2.

Paso 2: Calcular si el segundo término de la expresión corresponde al doble del primer término por el segundo término.

$14a = 2 \cdot a \cdot 7$

Al multiplicar $2 \cdot a \cdot 7$ se obtiene el segundo término de la expresión por lo que se puede factorizar.

Respuesta: $a^{2} + 14a + 49 = (a + 7)^{2}$

Nota: En el caso de que un trinomio cumpla el paso 1, pero no el paso 2 significa que su factorización NO es mediante un cuadrado de binomio.

Ejemplo 2

Factorizar $9x^{2} - 30x + 25$

Desarrollo:

Paso 1: Calcular las raíces cuadradas.

$\sqrt{9x^{2}} = 3x$
$\sqrt{25} = 5$

$\therefore (3x - 5)$

Paso 2: Calcular el término central.

$2 \cdot 3x \cdot 5 = 30x$

Respuesta: $9x^{2} - 30x + 25 = (3x - 5)^{2}$

Factorizar un trinomio de la forma x2+bx + c

El trinomio de la forma $x^{2}+bx + c$ es el resultado de la multiplicación de donde binomio con término común o semejante, por lo que utilizamos el Producto de binomios con un termino en común para factorizar.

Para realizar esta factorización de trinomios se deben buscar dos números cuyo producto sea igual al tercer término de la expresión y la suma de los mismos dos números sea igual al segundo término de la expresión. Además se mantiene el término común.

Ejemplo 1

Factorizar $a^{2} - 2a - 48$

Desarrollo:

Paso 1: Identificar el término común.

Este siempre corresponde a la raíz cuadrada del primer término. $\sqrt{a^{2}} = a$ , por lo que el término común es a.

Paso 2: Buscar dos números que multiplicados sean igual a -48 y sumados igual a -2

Para esto se calculan primero todas las multiplicaciones que den como resultado -48.

$2 \cdot -24$ o $-2 \cdot 24$
$3 \cdot -16$ o $-3 \cdot 16$
$4 \cdot -12$ o $-4 \cdot 12$
$6 \cdot -8$ o $-6 \cdot 8$

Ahora identificamos los factores que sumados o restados sean igual a -2. El único producto que cumple con esto es $6 \cdot -8$ .

Respuesta: $a^{2} - 2a - 48 = (a + 6)(a - 8)$

Ejemplo 2

Factorizar $x^{2} - 5x + 6$

Desarrollo:

Paso 1: Identificar el término común.

$\sqrt{x^{2}} = x$

Paso 2: Buscar dos números que multiplicados sean igual a 6 y sumados igual a -5.

Multiplicaciones:

$6 \cdot 1$ o $- 6 \cdot -1$
$3 \cdot 2$ o $- 3 \cdot -2$

Sumados:

$- 3 \cdot -2 = -5$

Por lo que la multiplicación a utilizar es: $- 3 \cdot -2$ .

Respuesta: $x^{2} - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2)$

Factorización de trinomios de la forma ax2+bx + c

La factorización de trinomios de la forma $ax^{2} + bx + c$ es especial ya que cuenta con dos métodos, y aquí te enseñare ambos, vamos a ver unos ejemplos.

Método 1

Factorizar la expresión $3x^{2} - 5x + 2$

Explicación: Este método consiste en observar los coeficientes del primer y tercer término de la expresión para identificar si el segundo término se puede separar en una o resta que contenga factores de dichos términos, con el fin de factorizar por factor común y luego por factor común por agrupación de términos.

Aquí podemos observar que $-5x$ se puede separar en una suma de $-3x - 2x$ , obteniendo coeficientes que son factores del primer y tercer término.

Desarrollo:

$3x^{2} - 5x + 2$

$3x^{2} - 3x - 2x + 2$

Factorizando por factor común

$3x(x - 1) - 2(x - 1)$

Factorizando por factor común por agrupación de términos

$(3x - 2)(x- 1)$

Respuesta:

$3x^{2} - 5x + 2 = (3x - 2)(x- 1)$

Método 2

Factorizar la expresión $3x^{2} - 5x + 2$

Explicación: El método se basa en multiplicar toda la expresión por una fracción con numerador y denominador igual al coeficiente del término al cuadrado, de esta forma no se altera la expresión. Para luego factorizar mediante Producto de binomios con un término en común, y finalmente factorizar uno de los dos binomios resultantes por factor común con el fin de simplificar el denominador en la expresión.

En este caso se debe multiplicar la expresión por $\frac{3}{3}$ , luego factorizar y simplificar.