Números complejos (C)

09/12/2021 · Actualizado: 03/01/2023

Índice de contenido

Definición

Si hablamos de una definición técnica, los números complejos son resultado de la combinación de los números reales y de los números imaginarios. En palabras simples, el conjunto de números complejos es aquel conjunto de números que tiene una parte de real y una parte de imaginaria.

Sabiendo, que dentro de los números complejos vamos a encontrar los números reales, y los números imaginarios, resulta mucho más sencillo comprender que los números complejos son la combinación de los números reales y de los números imaginarios, incluso es posible realizar la combinación de estos números de la forma o manera que queramos.

Al pensar en los números complejos, tenemos que pensar en el adjetivo de “completo” incluso más que en el adjetivo de “complicado”. Porque, completo es el sentido que viene a comprender a ambos mundos, el real y el imaginario.

¿Cuales son los números complejos?

La forma más común de realizar la representación de un número complejo es con la suma de una parte real y una parte imaginaria. Y de esta forma al mismo tiempo, la parte que es imaginaria se divide en dos: la parte imaginaria, y la unidad imaginaria.

Se puede crear la siguiente combinación, partiendo de la combinación de un número real y de un número imaginario: h + ui

Acá, la h es el número real.

Mientras que  ui es el número imaginario.

Para explicarlo de una forma un poco más concreta, h es un número real. La u es la parte imaginaria, por lo que la i seria entonces la unidad imaginaria.

Pero entonces, ¿siempre que vea o encuentre una combinación de números y en ella se vea una “i” esto quiere decir que se trata de un número complejo?

Acá, debemos ser muy cuidadosos para darle respuesta a esta pregunta. Ya que ella contiene trampa. Esto se debe a que todos los números que nosotros conocemos se encuentran comprendidos dentro del conjunto de números complejos.

De hecho, al fijarse en los esquemas de representación de estos números, se darán cuenta que el número real también es un numero complejo entonces. Es muy cierto, de hecho que cuando nos encontramos un número real no vemos ninguna “i”. Este sería por ejemplo el caso de un numero complejo en el que la parte imaginaria vendría siendo cero (0).

Ejemplos de números complejos

TiposNúmero complejoNúmero realNúmero imaginario
Común5+7i57i
Puramente real880
Puramente imaginario2i02i

Formas del conjunto de números complejos

  1. Número complejo puramente real: este es un número complejo en el que la parte imaginaria es cero (0). En otras palabras, es un número real, básicamente cualquier número de menos infinito hasta más infinito.
  2. Número complejo puramente imaginario: este es un número complejo, en el que la parte real es cero (0). En otras palabras, es básicamente un número imaginario, cualquier número real que lleve al lado una “i”.

Representación de complejos

Si bien es cierto, estos números se pueden escribir como combinaciones de números imaginarios y de números reales, la representación gráfica de este conjunto de números sigue entonces el mismo patrón.

Números complejos y el plano complejo

Para que podamos interpretar de forma geométrica los números complejos necesitamos valernos de lo que se conoce como plano complejo. En los casos de las sumas, ésta se puede relacionar con la de los vectores, mientras que en la multiplicación se hace posible expresarlos mediante el uso de coordenadas polares utilizando las siguientes características:

  • La magnitud del producto es la multiplicación de las magnitudes de los términos.
  • El ángulo que va desde el eje real del resultado o producto va a resultar de la suma de todos los ángulos de los términos.

A la hora de hacer la representación de las posiciones de los polos y de los ceros de una función de un plano complejo, generalmente se usan los denominados diagramas de Argand.

Aplicaciones o usos de los números complejos

Dentro de las propiedades de los números complejos (las cuales son muchas), hay varias propiedades matemáticas que resultan útiles y que facilitan enormemente el modelaje de los sistemas sinusoidales como lo son por ejemplo los circuitos eléctricos.

Básicamente, todos nosotros trabajamos con números complejos para evitarnos algunos cálculos, y así poder simplificar la mayoría de los problemas matemáticos.

El uso o aplicación de los números complejos es bastante amplio, se utilizan en la ingeniería, en informática, etc.

Uso en la ingeniería:

Estas son algunas de las aplicaciones de los números complejos en la rama de la ingeniería.

  • Teoría del control: en cuanto a la teoría del control, los sistemas son transformados del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia, utilizando transformaciones de Laplace. Los ceros y también los polos de ese sistema son analizados en el plano de los números complejos.
  • Análisis de señales: dentro del análisis de señales, se utilizan los números complejos así como en otros campos, para obtener una descripción conveniente de señales que van a variar de forma periódica. Para esas funciones reales, que representan cantidades físicas, muchas veces en términos de seno y de coseno, podríamos considerar funciones complejas correspondientes, en ellas las partes reales son las cantidades originales.
  • Integrales impropias: para los campos aplicados como la ingeniería, se utilizan mucho los números complejos para poder calcular integrales impropias con valores de la vida real al usar funciones de números complejos.
  • Uso en ingeniería mecánica y civil: el concepto de plano complejo y de geometría compleja resulta bastante útil en la construcción de edificios y autos. Este concepto es utilizado en los diseños 2D de edificios y de autos. También se utilizan los números complejos en la mecánica para realizar la representación de rotaciones.
  • Teorema de los residuos: en un análisis complejo del teorema de los residuos este resulta una poderosa herramienta, para evaluar integrales de caminos de funciones meromórficas en cuanto a curvas cerradas y de hecho muchas veces puede ser usada para realizar el cálculo de integrales reales.

Uso en la informática

Fundamentalmente los números complejos no son utilizados particularmente en la informática, pero estos aparecen en varios lugares en donde su conocimiento es bastante necesario para poder construir aplicaciones.

Uno de los primeros lugares en los que vemos números complejos en el área de la informática, es en el ejemplo prototípico de una clase o un tipo.

Lo números complejos resultan ser un ejemplo bastante sencillo de entender de un objeto en cuanto a programación orientada a objetos.

Esto permite mostrar los datos, es decir una parte real y una imaginaria. Y esas operaciones en los datos que vamos a implementar como métodos.

Diego Gallardo

Profesor de Matemática en enseñanza básica y media, aficionado a la creación de contenidos y fan de pederse en el cerro ⛺.

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