Números IRRACIONALES (I)

03/06/2020 · Actualizado: 15/03/2023

Encuentra información sobre el conjunto de los NÚMEROS IRRACIONALES o I, tal como su historia, propiedades y mucho más aquí.

Este sistema numérico es la contraparte de los números racionales tal y como su nombre lo indica, es decir, involucra a aquellos números descartados por el conjunto de números que pueden ser expresados mediante una fracción con numerador entero y denominador diferente de cero. Podemos decir de igual forma que un número es irracional cuando su expresión decimal no presenta una estructura exacta ni periódica.

Números decimales periódicos

Antes de proceder a concretar la explicación, debemos repasar este término, ya que si no lo tenemos claro, será difícil comprender del todo este tema. Lo que una cifra periódica denota en el apartado de los decimales, es un número o patrón de números que se repiten infinitamente. Hay dos tipos de números periódicos:

  • Números periódicos puros: Es cuando después de la coma podemos observar un número o patrón que se repite sin fin. Ejemplo: 1,22222……
  • Números periódicos mixtos: Muchos les llaman, números semi-periódicos. No es más que la presentación de una o varias cifras después de la coma que no se repiten, seguidas por una cifra o patrón de cifras que sí se repiten. Ejemplo: 5,2666666……
Índice de contenido
  • Historia de los números irracionales
  • Propiedades de los números irracionales
  • Números irracionales más conocidos
  • Historia de los números irracionales

    La historia del reconocimiento de estos números como un conjunto, es un poco debatible y controversial. Hay personas que se ponen de acuerdo respecto a ciertos datos, mientras que con otros discrepan, así que aquí expresaremos la teoría más aceptada.

    Principalmente se le atribuye el descubrimiento de estos números a un estudioso de la escuela pitagórica llamado “Hípaso de Metaponto”, quien planteó un problema bastante interesante. Al utilizar el teorema de su maestro (teorema de Pitágoras) para conocer la diagonal de un cuadrado, este se encontró con un gran inconveniente.

    Debido a que la fórmula para encontrar la hipotenusa (diagonal del cuadrado), era Hipotenusa al cuadrado = Cateto opuesto al cuadrado + cateto adyacente al cuadrado, para finalizar la operación, se debía sacar la raíz del resultado. En tal caso de que los dos catetos valieran 1, el resultado de la operación sería 2. Si sacamos la raíz de dos, no nos encontramos con un número entero ni una cifra con decimales periódicos ni semi-periódicos, por el contrario, observamos un número con decimales que no siguen un patrón específico.

    Según los ideales pitagóricos, todo el universo podría describirse con números enteros o fracciones de estos. Este problema que mencionábamos, hizo que las teorías y los ideales pitagóricos en este sentido se derrumbaran. Todo este embrollo causó un impacto entre los estudiosos y compañeros de Hípaso que trataron de esconder el hallazgo, llegando incluso a matarlo. Claro que todo esto es una teoría y aún no se encuentran evidencias concretas de este suceso.

    Propiedades de los números irracionales

    Como ya debemos saber, todo conjunto o sistema numérico está regido por las mismas normas, comparte las mismas características entre sus integrantes y cumplirá con una serie de propiedades. Cuando de número irracionales se trata, podemos establecer una serie de hechos que nos permiten realizar operaciones en base a ciertas fórmulas, sabiendo que siempre se cumplirá la misma situación de acuerdo al escenario planteado en las propiedades. Entre las más comunes y simples conseguimos:

    • Si sumamos o restamos un número racional con uno irracional, obtendremos como resultado uno irracional. No es muy difícil de prever, ya que tomando en consideración que los irracionales constan de decimales no periódicos, al realizar una operación de estas mencionadas, los decimales intervendrán con su patrón no establecido, dando como resultado una cifra con la misma característica.
    • Igualmente al caso anterior, si realizamos una multiplicación o división en las mismas condiciones, entre un número racional diferente de cero y uno irracional, el resultado será irracional.
    • El inverso de un número irracional, será irracional de igual manera.
    • La raíz cuadrada de un número natural no cuadrado perfecto, es un número irracional. Tal es el caso del 2, número con el que se presenta la teoría de Hípaso.
    • Entre dos números racionales a y b, siempre habrá al menos un número irracional.

    Estas son solo algunas de las propiedades más sencillas, orientándonos en el espacio de normas incambiables. Por otro lado, podemos encontrar propiedades comunes de operaciones matemáticas, las cuales rigen a este sistema numérico de igual manera. A continuación las presentamos:

    Clausura o interna

    Esta propiedad dice que la multiplicación de números irracionales siempre resulta como otro número irracional.

    \forall \space a,b \in I \rightarrow a \cdot b=K, K \in I

    Conmutativa

    Está presente en estos casos con números irracionales, de igual forma que lo está con las operaciones normales de números naturales. No importa el orden de los elementos en una operación de suma o multiplicación, el resultado será el mismo. Cabe destacar que la resta puede ser o no tomada en la propiedad conmutativa, recordemos que es posible realizar una operación de esta índole: -2+5 = 5-2

    \forall \space a,b \in I \rightarrow a\pm b=b \pm a

    \forall \space a,b \in I \rightarrow a\cdot b=b \cdot a

    Asociativa

    Considerando que esta propiedad se basa en un ordenamiento de términos en base a paréntesis para determinar qué se resolverá primero. Aquí vemos que no importará cómo se ordenen, el resultado será el mismo.

    \forall \space a,b,c \in I \rightarrow \left (a+b \right )+c=a+ \left (b+c \right )

    \forall \space a,b,c \in I \rightarrow \left (a \cdot b \right ) \cdot c=a \cdot \left (b \cdot c \right )

    Elemento neutro

    Al igual que en conjuntos numéricos anteriores para la suma es el cero y para la multiplicación es el uno.

    \forall \space a \in I \rightarrow a+0=a

    \forall \space a \in I \rightarrow a \cdot 1=a

    Elemento inverso

    Se cumple que al sumar cualquier número irracional con su inverso, el resultado es cero

    \Pi - \Pi=0

    Números irracionales más conocidos

    Tal vez no lleguen a tu mente estos números, pero hay una serie de términos muy conocidos que son irracionales, tal es el caso de π o “Pi”, una constante matemática que observamos continuamente. Muchas personas tienen a Pi solo como 3.14, de hecho, es lo primero que enseñan en educación básica, lo que no te dicen es que Pi tiene decimales infinitos.

    Otro ejemplo podría ser la constante de “euler” usualmente llamada o expresada como “e”. Así como Pi, es un número irracional muy importante, mucho menos conocido en etapas de educación temprana, pero ampliamente usado en educación universitaria, sobre todo en ingeniería. Las primeras cifras de e, son 2.71

    Áureo, o el número de oro, que tiene en sus primero términos 1.61, es el menos conocido entre la población común de los 3 que hemos mencionado. El símbolo que le representa es ϕ.

    Como último número irracional, no podemos dejar de lado al que inició todo, o al que al menos se le atribuye “la raíz cuadrada de 2”.

    Diego Gallardo

    Profesor de Matemática en enseñanza básica y media, aficionado a la creación de contenidos y fan de pederse en el cerro ⛺.

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