Conjuntos numéricos

Números naturales (ℕ)

Desde muy temprana edad, aprendemos a contar utilizando los números naturales, que forman la base para operaciones aritméticas simples como la suma, la resta, la multiplicación y la división. En este artículo, exploraremos la historia de estos números, qué son, sus propiedades, y como se utilizan.

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Historia de los números naturales y su uso en el pasado

Antes de formalizar el conjunto de números naturales se utilizaban otros métodos para contar, específicamente utilizando objetos como piedras, palos de madera o simplemente los dedos. Posteriormente existieron otros sistemas de numeración como el Unario que para representar un número se seleccionaba un símbolo cualquiera que definía la única cifra que contenía dicho sistema, como por ejemplo ‘|’ representa 1, entonces ‘||||’ representa 4.

Hace aproximadamente en el año 4000 a.C., en Mesopotamia, podemos examinar a los símbolos predecesores de los que hoy en día tenemos, que eran escritos en tableros de arcilla con un palito aguzado. Posteriormente estos símbolos fueron adoptados y modificados en la antigua Grecia y Roma.

Números babilónicos

Hasta que en el siglo XIX el matemático Alemán Richard Dedekind estableció una base solida para los números naturales, dando el primer paso para formalizar la existencia de estos números a través postulados y demostraciones de otros matemáticos. Siendo Ernst Zermelo quien en su teoría de conjuntos demostraría la existencia de los números naturales utilizando el axioma de la infinitud.

Definición de números naturales

Los números naturales son aquellos símbolos que se utilizan para contar elementos. Se representan con el símbolo y comienzan desde el número 1 (aunque algunas definiciones incluyen el 0). Matemáticamente, podemos expresarlo de la siguiente manera:

$$ \mathbb{N} = \left\{1, 2, 3, 4, 5, 6… \right\}$$

Ahora si bien el cero no es necesario para contar elementos, se hizo necesario agregarlo al conjunto numérico para denotar la ausencia de elementos. Definiéndose de la forma:

$$ \mathbb{N_{0}} = \left\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6… \right\}$$

A este conjunto que incluye un nuevo símbolo \( \mathbb{N_{0}} \) se le llamó conjunto de números cardinales, que hoy en día se ha retirado de algunos libros, e incluso de la enseñanza, como en Chile por ejemplo, donde dependiendo del contexto determina si el cero es un número natural o no, como por ejemplo en la divisibilidad o teoría de números, haciendo que estas dos definiciones hoy en día convivan bajo el símbolo ℕ.

Las características de este conjunto son las que presentan los axiomas de Peano que no consideran el cero:

  • Si \(n\) es un número natural, entonces el sucesor de \(n\) también es un número natural.
  • El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
  • Si hay dos números naturales \(n\) y \(m\) con el mismo sucesor, entonces \(n\) y \(m\) son el mismo número natural.

Y la versión Bush-Obreanu que si considera el cero:

Para no profundizar demasiado en matemática más dura, se puede decir que para definir un número natural se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga la cantidad de elementos de dicho número. Este concepto fue propuesto por Bertrand Russell, para que luego Von Neumann propusiera que dicho conjunto estuviera formado por los predecesores del número, por ejemplo, para definir el número 3 los elementos de su conjunto son el 0, 1 y 2, es decir, contiene tres elementos.

10 Ejemplos de números naturales

  1. Cuarenta (40)
  2. Cincuenta y dos (52)
  3. Ciento seis (106)
  4. Ciento treinta y ocho (138)
  5. Doscientos (200)
  6. Doscientos cincuenta (250)
  7. Doscientos noventa y dos (292)
  8. Trescientos ochenta (380)
  9. Mil cincuenta (1050)
  10. Mil trescientos cuarenta y cinco (1345)

Propiedades de los números naturales

Clausura o interna

Si sumamos o multiplicamos dos números naturales el resultado será otro número natural.

Para la adición

$$ \forall \space a, b \in \mathbb{N} \rightarrow a+b \in \mathbb{N} $$

Para el producto

$$ \forall \space a, b \in \mathbb{N} \rightarrow a \cdot b \in \mathbb{N}$$

Ejemplos

  1. Al sumar los números naturales 2 y 3, se obtiene 5 (2 + 3 = 5) que es otro número natural.
  2. Al multiplicar los números naturales 2 y 3, se obtiene 6 (2 × 3 = 6) que es otro número natural.

Propiedad conmutativa

El resultado de una operación no cambia cuando se alteran el orden de los operandos.

Para la adición

$$ \forall \space a, b \in \mathbb{N} \rightarrow a+b=b+a $$

Para el producto

$$ \forall \space a, b \in \mathbb{N} \rightarrow a \cdot b=b \cdot a $$

Ejemplos

  1. Al sumar 2 + 3 se obtiene 5, el mismo resultado que al suma 3 + 2.
  2. Al multiplicar 2 × 3 se obtiene 6, el mismo resultado que al multiplicar 3 × 2.

Propiedad asociativa

Establece que, al realizar una operación, el modo en que se agrupan los elementos no afecta el resultado final.

Para la adición

$$ \forall \space a, b,c \in \mathbb{N} \rightarrow \left (a+b \right )+c=a+\left (b+c \right ) $$

Para el producto

$$ \forall \space a, b,c \in \mathbb{N} \rightarrow \left (a \cdot b \right ) \cdot c=a \cdot \left (b \cdot c \right ) $$

Ejemplos

  1. Al sumar (2 + 3) + 4 se obtiene 9, el mismo resultado que al sumar 2 + (3 + 4).
  2. Al multiplicar (2 × 3) × 4 se obtiene 24, el mismo resultado que al sumar 2 × (3 × 4).

Propiedad distributiva

Cuando un número natural multiplica a una suma de dos números naturales, se puede “distribuir” ese número multiplicando cada uno de los términos de la suma de manera individual, y luego sumar los resultados.

$$ \forall \space a, b,c \in \mathbb{N} \rightarrow a\left (b+c \right ) =a \cdot b + a \cdot c $$

Ejemplo

  1. 2×(3 + 4) = 14, es igual a calcular (2 × 3) + (2 × 4) = 6 + 8 = 14

Elemento neutro

Es un valor en un conjunto que, al aplicarle una operación con cualquier otro elemento del conjunto, no altera su valor.

Para la adición

$$ a+0=a $$

Para el producto

$$ a \cdot 1=a $$

Ejemplos

  1. 2 + 0 = 2.
  2. 2 × 1 = 2.

Aplicaciones de los números naturales

Los números pertenecientes al conjunto de los números naturales tienen aplicaciones en prácticamente todas las áreas de las matemáticas y la vida diaria. Algunos ejemplos de su uso incluyen:

  • Contar objetos: Si tienes 3 manzanas y agregas 2 más, ahora tienes 5 manzanas.
  • Medición de cantidades: Los números naturales se usan para medir cantidades discretas, como el número de personas en una sala o la cantidad de libros en una biblioteca.
  • Resolución de problemas matemáticos: Muchas áreas de las matemáticas, como la teoría de números y la combinatoria, dependen en gran medida del uso de los números naturales.

Preguntas frecuentes

¿Qué es un número natural?

Son aquellos símbolos que se utilizan para contar elementos. Por ejemplo: 1, 2, 3 …

¿El número 0 es un número natural?

Depende de la definición que se utilice. En algunas definiciones, los números naturales comienzan desde el 1, mientras que en otras incluyen el 0. En general, en matemáticas modernas se acepta que el 0 es un número natural.

¿Cuál es la importancia de los números naturales en matemáticas?

Los números naturales son esenciales porque forman la base de todo el sistema numérico que usamos para contar, medir y realizar operaciones aritméticas. También son fundamentales en el desarrollo de otros conceptos matemáticos más avanzados.

¿Cuál es el símbolo de los números naturales?

¿Qué números no son naturales?

Los números naturales no incluyen números negativos, fracciones o números decimales.

Diego

Profesor de Matemática en enseñanza básica y media, aficionado a la creación de contenidos y fan de pederse en el cerro ⛺.

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