Números Racionales

27/05/2020 · Actualizado: 17/01/2024

En el mundo de las matemáticas los números son la base de todo, por ello los números racionales forman un gran conjunto numérico aplicable en la vida. Por ello, hoy conocerás todos los detalles, características y propiedades sobre los números racionales, que incluso son de gran utilidad para aspectos de la medicina como de la arquitectura.

Índice de contenido

¿Qué son los números racionales?

A los números racionales también se les conoce como números fraccionarios y son aquellos que pueden expresarse mediante una fracción. De manera más detallada, su representación se prioriza con la letra Q por el término “Quioziente” que significa cociente en el idioma italiano.

Cabe destacar que estos números están igualmente integrados con el número cero, los números de tipo enteros y fraccionarios.

¿De dónde nacen los números racionales?

A decir verdad, no tienen un origen definido sobre cómo y cuándo surgieron en el mundo. Pero, para los tiempos de los egipcios estos números eran empleados para solucionar algunos problemas con la utilización de fracciones de números enteros.

De manera más detallada, estos ejercicios los ponían en práctica frente a asuntos de construcción. Así que, desde entonces se denomina racional para expresar el sentido de separación o razón en idioma latín.

Luego con el paso de los años, se determinó su identificación con la letra Q como se mencionó anteriormente a raíz de los ejercicios matemáticos de un italiano llamado Giuseppe Peano.

¿Cuáles son los números racionales?

Los números racionales son aquellos dígitos que obligatoriamente pueden expresarse como un cociente de 2 números que son enteros, por lo que conforman una fracción o un todo en general bien sean enteros, decimales periódicos, decimales mixtos y decimales exactos.

Por otra parte está el cero, como un valor nulo que no requiere ser contado, pero sí puede estar representado en decimales como 0,5 o 0,1. Mientras que los números fraccionarios no son enteros y se representan 6/9, 4/5 o 2/6 por ejemplo.

Clasificación

Todos los números racionales se identificarán con la letra Q, pero irá de la mano con un signo que será lo que determine su clasificación según sea el caso.

  • Q*: se toman en cuenta todos los números racionales menos el cero
  • Q+: se toman en cuenta todos los números racionales incluyendo el cero
  • Q-: se toman en cuenta los números racionales que son negativos y el número cero
  • Q*+: se toman en cuenta los números racionales positivas sin contar el cero
  • Q*-: se toman en cuenta los números negativos menos el cero
  • Decimales: son aquellos que representan las fracciones y decimales que se clasifican como finito e infinito.
  • Decimal finito: Este número en su parte decimal tiene un limite de cifras, es decir, su parte decimal tiene fin o su parte decimal es exacta. (También conocido como Decimal Exacto) EJ: 2,34
  • Decimal infinito periódico: Este número tiene un periodo inmediatamente después de la coma, es decir, sus cifras en la parte decimal cumplen con un patrón sin fin (También conocidos como Decimal periódico puro) EJ: 3,15151515= 3,\bar{15}
  • Decimal infinito semi-periódico: Estos números son la combinación de los dos anteriores, es decir, su parte decimal se compone por cifras exactas y otras cifras que siguen un periodo. (También conocidos como Decimal periódico mixto) EJ: 13,9574242424242 = 13,957\bar{42}

¿Para qué sirven los números racionales?

Ciertamente las matemáticas no son del agrado de todo el mundo, pero la utilidad de los números racionales es sumamente aplicable en muchos aspectos de la vida.

Con ellos se logra expresar medidas que se puedan fraccionar, como por ejemplo; cuando llega el momento de dividir una torta en 4 porciones.

Aunado a ello, con la aplicación de estos números son mucho más sencillas las operaciones que son de división.

Características

  • Son números de capacidad infinita
  • Se expresan en decimales o fracciones
  • Pueden representar varias partes de un número entero

¿Cuáles son las propiedades de los números racionales?

Las propiedades pueden emplearse en diversas operaciones matemáticas como son: suma, resta, división y multiplicación. Dependiendo de cada área, estos factores numéricos disponen de las siguientes propiedades:

Propiedades para la suma

  • Interna o clausura: Siempre que se realice una adición o sustracción de números racionales el resultado será otro racional.

\forall \space a, b \in Q \rightarrow a\pm b = K; K\in Q

  • Asociativa

\left ( \frac{a}{b} +\frac{c}{d} \right )+\frac{e}{f} = \frac{a}{b} + \left ( \frac{c}{d} +\frac{e}{f} \right )

  • Conmutativa

\frac{a}{b}+ \frac{c}{d}= \frac{c}{d} +\frac{a}{b}

  • Elemento neutro: Para este conjunto es el cero

\frac{a}{b}\pm 0= \frac{a}{b}

  • Elemento opuesto

\frac{a}{b}+\left ( -\frac{a}{b} \right ) = 0

Propiedades para el producto

En sí, las propiedades para multiplicar o dividir (solo en algunos casos específicos para esta ultima operación) son prácticamente las mismas que en la adición con algunos cambios que detallo a continuación:

  • Interna

\forall \space a, b \in Q \rightarrow a\cdot b = K; K\in Q

  • Asociativa

\left ( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \right )\cdot\frac{e}{f} = \frac{a}{b} \cdot \left ( \frac{c}{d} \cdot\frac{e}{f} \right )

  • Conmutativa

\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}= \frac{c}{d} \cdot\frac{a}{b}

  • Distributiva

\frac{a}{b}\cdot \left ( \frac{c}{d} \pm \frac{e}{f} \right ) = \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} \pm \frac{a}{b}\cdot \frac{e}{f}

  • Elemento neutro con el número 1

\frac{a}{b}\cdot 1= \frac{a}{b}

¿Tiene sucesor el número racional?

Luego de encontrar como resultado un número racional, viene la duda si será posible encontrar el siguiente. Un ejemplo de ello es: cuál podría ser el número racional que le sigue al cero.

Ante esto, lo primero que se debe focalizar es el hecho de encontrar la expresión que represente el número más cercano al cero. Pero la verdad absoluta es que no existe sucesor del número cero, ya que los números racionales no disponen de esa figura sucesora.

Así que al seleccionar 2 números racionales aún y cuando sean muy cercanos, entre ellos sólo habrá factores infinitos sin ningún tipo de sucesión.

Operaciones en el conjunto Q

Operaciones con fracciones

  1. Para sumar y restar:

Debe estar conformada por dos o más números racionales y se deben seguir algunos pasos de acuerdo al caso. En caso de tener igual denominador, se deben sumar los numeradores mientras que se mantiene el denominador.

Ejemplo 1: Sumar los números \frac{2}{3} + \frac{11}{3}

\frac{2}{3} + \frac{11}{3}=\frac{2+11}{3}=\frac{13}{3}

Ejemplo 2: Restar los números \frac{14}{4} - \frac{9}{4}

\frac{14}{4} - \frac{9}{4}=\frac{14-9}{4}=\frac{5}{4}

Cuando el denominador es diferente, entonces hay que proceder a calcular el mínimo común múltiplo de cada denominador o utilizar la siguiente fórmula:

\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a\cdot d\pm b\cdot c}{b\cdot d}

Ejemplo 3: Sumar los números \frac{5}{2} + \frac{3}{4}

\frac{5}{2} + \frac{3}{4}= \frac{5\cdot4+2\cdot3}{2\cdot4}

\frac{5}{2} + \frac{3}{4}= \frac{20+6}{8}

\frac{5}{2} + \frac{3}{4}= \frac{26}{8}

  • Para multiplicar:

Acá la ejecución de la multiplicación se efectúa con dos números de tipo racional de forma lineal.

Ejemplo 4: Calcula \frac{10}{3} \cdot \frac{7}{2}

\frac{10}{3} \cdot \frac{7}{2}=\frac{10 \cdot7}{3 \cdot2}

\frac{10}{3} \cdot \frac{7}{2}=\frac{70}{6}

  • Para dividir:

La división se efectúa con dos números racionales entre otro diferente a cero. Se puede multiplicar cruzado o invertir la segunda fracción para multiplicar de forma lineal.

Ejemplo 5: Utiliza los dos métodos mencionados anteriormente para dividir la fracción \frac{8}{3} entre \frac{7}{9}

Método 1: Multiplicación cruzada

\frac{8}{3} \div \frac{7}{9}=\frac{8\cdot9}{3 \cdot 7}

\frac{8}{3} \div \frac{7}{9}=\frac{72}{21}

Método 2: Invertir la segunda fracción y multiplicar de forma lineal

\frac{8}{3} \div \frac{7}{9}=\frac{8}{3} \cdot \frac{9}{7}

\frac{8}{3} \div \frac{7}{9}=\frac{8\cdot9}{3 \cdot 7}

\frac{8}{3} \div \frac{7}{9}=\frac{72}{21}

Operaciones con decimales

Los siguiente métodos se realizan únicamente con números decimales finitos ya que de ser infinitos se deben transformar a fracción y realizar las operaciones anteriormente mencionadas. Aquí te dejo un articulo al respecto "Transformar de decimal a fracción".

  • Para la suma:

Se realiza igual que con los números enteros, pero la coma de ambos números decimales debe estar en la misma posición y mantenerla en su resultado.

Ejemplo 6: Calcula la suma 1,5+2,3

  • Para la resta:

La sustracción se realiza igual que la suma, solo que el valor absoluto del número mayor SIEMPRE debe ir primero para poder restar.

Ejemplo 7: Calcula la suma 1,5-2,3

Si calculamos los valores absolutos 2,3 es el mayor.

Como 2,3 es el mayor y su signo es negativo el resultado es -0,8

  • Para la multiplicación:

Se deben multiplicar los números decimales sin considerar la coma y al producto final dependiendo de la suma de las cifras decimales de ambos números se le agrega la coma.

Ejemplo 8: Resuelve la siguiente multiplicación 3,1 \cdot 1,2

3,1 \cdot 1,2 = 31 \cdot 12

3,1 \cdot 1,2 = 372

Como 3,1 tiene una cifra decimal y 1,2 también el resultado de la multiplicación debe tener 2 cifras decimales:

3,1 \cdot 1,2 = 3,72

  • Para la división:

En este caso el divisor se debe amplificar hasta lograr un número entero, es decir, si el número racional tiene una cifra decimal amplificas por 10, si posee 2 amplificas por 100, con 3 por 1.000 y así sucesivamente para luego dividir igual que con los números enteros.

Ejemplo 9: Resuelve la siguiente división 3,6 \div 1,2

Como el divisor es 1,2 y tiene una cifra decimal amplificamos la división completa por 10

3,6 \div 1,2= / \cdot10

36 \div 12= 3

\therefore 3,6 \div 1,2= 3

Diego Gallardo

Profesor de Matemática en enseñanza básica y media, aficionado a la creación de contenidos y fan de pederse en el cerro ⛺.

También te puede interesar

Subir