Máximo común divisor (MCD)

27/08/2022 · Actualizado: 15/10/2022

Aprende qué es y cómo calcular el Máximo común divisor abreviado como MCD a través de diversos métodos matemáticos.

Índice de contenido

Definición

El Máximo común divisor o MCD de dos o más números es el mayor número que divide de forma exacta a los números, es decir, al dividir su resto es cero.

Matemáticamente dados los números a y b, el máximo común divisor es el mayor divisor común c entre a y b.

Calcular el Máximo común divisor identificando los divisores

Los divisores de un número son aquellos que al dividir dicho número su resto cero, es decir, son divisiones exactas.

Para calcular el máximo común divisor o MCD con los divisores tan solo se identifica el número mayor que se repita en los divisores de ambos números.

Por ejemplo los divisores de 4 son d_{4} = \left \{ 2, 4 \right \} y los divisores de 12 son d_{12} = \left \{2; 3; 4; 6; 12\right \}, entonces podemos observar que tienen dos divisores en común, el 2 y el 4, como 4 es el mayor este corresponde al máximo común divisor entre 4 y 12. Esto se denota como MCD_{(4,12)} = 4.

El identificar todos los divisores de los números es un método para calcular el MCD, pero existen varios métodos que se explican a continuación.

Explicación del método en video:

https://www.youtube.com/watch?v=lFi_zhpEBco

Calcular el Máximo común divisor por descomposición de factores primos

Al aplicar este método debemos recordar que los números primos son aquellos que solo son divisibles por uno y el mismo, por ejemplo, el número 2 es divisible solo por 1 y 2, por lo tanto es un número primo. Asi mismo otros números primos son el 3, 5, 7, 11, 13, etc.

Para descomponer en factores primos un número, este se divide de forma exacta por los números primos de menor a mayor hasta obtener cociente uno. Por ejemplo para descomponer el número 18, este se opera por el primer número primo que lo divida de forma exacta, es decir, por 2, obteniendo 9, ahora el 9 se divide por 3 que es el siguiente número primo que lo divide forma exacta obteniendo 3, y finalmente el 3 se divide nuevamente por 3, resultando 1, por lo tanto 18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 que corresponden a la multiplicación de los números primos que dividieron al 18. En el caso de que se repitan se escriben como potencia, entonces la descomposición en factores primos de 18 es 18 = 2 \cdot 3^{2}, esto se denota:

Los pasos para aplicar este método son los siguientes:

  1. Se descompone en factores primos cada número.
  2. Identificamos los factores comunes y seleccionamos el o los que posean el menor exponente.
  3. Multiplicar los factores.

Ejemplo

Calcular MCD_{(100,120)}

  1. Se descompone en factores primos cada número.

100 = 2^{2} \cdot 5^{2}

Máximo común divisor o MCD

120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5

  1. Identificamos los factores comunes y seleccionamos el o los que posean el menor exponente.

Los factores en común son el 2 y 5, seleccionamos los que tengan menor exponente que son los siguientes:

100 = \boxed{2^{2}} \cdot 5^{2} y 120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot \boxed{5}

  1. Multiplicar los factores.

2^{2} \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20

\boxed{ \therefore MCD_{(100,120)} = 20}

Explicación del método en video:

https://www.youtube.com/watch?v=ROaENa86ua0

Calcular el Máximo común divisor o MCD usando el algoritmo de Euclides

El algoritmo de euclides para calcular el MCD consiste en dividir el número mayor entre el menor, y el primer resto de la división se convierte en el divisor del número menor, si esta útima división es exacta, es decir, su resto es cero, el máximo común divisor corresponde al resto de la primera división.

Los pasos para aplicar este método son:

  1. Dividir el número mayor entre el menor hasta obtener el primer resto.
  2. Dividir el número menor entre el resto de la división anterior.

En el caso de que la primera división de como resto cero de inmediato, el divisor es el MCD, y si el resto de la segunda división no es cero, se calcula el MCD entre el divisor y el resto de la primera división.

Vamos a ver un ejemplo aplicando este método con los mismos números del método anterior.

Ejemplo

Calcular MCD_{(100,120)}

  1. Dividir el número mayor entre el menor hasta obtener el primer resto.
Máximo común divisor o MCD
  1. Dividir el número menor entre el resto de la división anterior.
Máximo común divisor o MCD

Como el resto de esta división es cero, el primer resto '20' es el MCD.

\boxed{ \therefore MCD_{(100,120)} = 20}

Calcular el Máximo común divisor usando el mínimo común múltiplo

Para calcular los múltiplos de un número, ese número se multiplica de en orden ascendente por 1, 2, 3, 4, 5, etc. Por ejemplo los múltiplos de 2 son 2, 4, 6, 8, 10, etc. Ya que 2 \cdot 1 = 2, 2 \cdot 2 = 4, 2 \cdot 3 = 6, 2 \cdot 4 = 8 y 2 \cdot 5 = 10. (Recuerda que puedes seguir calculando múltiplos hasta encontrar los que desees).

El Mínimo común múltiplo o MCM corresponde al menor múltiplo entre dos o más números, por ejemplo el MCM entre 2 y 8 es igual a 2. Esto se denota como MCM_{(2,8)} = 2.

La fórmula para calcular el Máximo común divisor o MCD usando el mínimo común múltiplo es la siguiente:

MCD_{(a,b)} = \frac{a \cdot b}{MCM_{(a,b)}}

Siendo a y b los números a los que sedebe calcular el MCD, por lo tanto los pasos para este método son:

  1. Calcular el MCM entre los números.
  2. Reemplazar los valores en la fórmula, donde primero se multiplica y luego divide.

Ejemplo

Calcular MCD_{(100,120)}

  1. Calcular el MCM entre los números.
  • M_{(100)} = \left \{100, 200, 300, 400, 500, \boxed{600}, 700, 800, 900 \right \}
  • M_{(120)} = \left \{120, 240, 360, 480, \boxed{600}, 720, 840 \right \}

MCM_{(100, 120)} = 600

  1. Reemplazar los valores en la fórmula.

Datos: a = 100, b = 120 y MCM_{(a, b)} = 600

MCD_{(100, 120)} = \frac{100 \cdot 120}{600}

MCD_{(100, 120)} = \frac{1.200}{600}

\boxed{MCD_{(100,120)} = 20}

Calcular el MCD entre tres o más números

Al calcular el máximo común divisor de tres o más números se calcula primero solo el de los dos últimos y luego se repite el proceso hasta calcular el MCD de todos los números.

Matemáticamente se define como MCD_{(a,b,c)} = MCD_{\left (a, MCD_(b,c) \right )}

Ejemplo

Calcular MCD_{(40, 100, 120)}

Ya sabemos que el MCD_{(100,120)} = 20, por lo tanto se debe calcular el MCD_{(20,40)} utilizando cualquiera de los métodos presentados anteriormente. En este caso utilizaré el primero de identificar los divisores:

  • d_{(20)} = \left \{2, 4, 5, 10, \boxed{20} \right \}
  • d_{(40)} = \left \{2, 4, 5, 8, 10, \boxed{20}, 40 \right \}

MCD_{(20, 40)} = 20

\boxed{ \therefore MCD_{(40, 100, 120)} = 20}

Propiedades

  • Sean a y b dos números naturales, si a es divisible por b, entonces b es el MCD entre ambos.
  • Sean a, b y MCD_{(a, b)} = c, si se multiplica o divide a y b por un número d, entonces el MCD_{(a, b)} = c también se multiplica o divide por d.
  • Si MCD_{(a, b)} = c entonces MCD_{(\frac{a}{c}, \frac{b}{c})} = 1
  • Si b es múltiplo de a entonces MCD_{(a, b)} = a

Recursos

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WordVer carpeta

Diego Gallardo

Profesor de Matemática en enseñanza básica y media, aficionado a la creación de contenidos y fan de pederse en el cerro ⛺.

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