Mínimo común múltiplo (MCM)

02/09/2022 · Actualizado: 02/09/2022

Aprende a calcular el mínimo común múltiplo o MCM a través de diversos métodos explicados con ejemplos paso a paso.

Índice de contenido

Definición

El mínimo común múltiplo se abrevia como M.C.M. y cumple que es el menor múltiplo 'igual' entre dos o más números.

Matemáticamente si a y b son números naturales, y c es el menor número que es divisible de forma exacta entre a y b por separado, entonces el MCM entre a y b es c.

Por ejemplo el MCM entre 4 y 6 es 12, porque 12 \div 4 = 3 y 12 \div 6 = 2 y no existe un número menor a 12 que cumpla esta condición. Se escribe de la forma MCM_{(4, 6)} = 12.

Aunque este concepto esta asociado al conjunto de los números naturales, es aplicable a otros conjuntos.

Calcular el mínimo común múltiplo mediante múltiplos

Los múltiplos de un número corresponden a los resultados de multiplicar dicho número por los números naturales de forma ascendente.

Por ejemplo los múltiplos de 2 son 2, 4, 6, 8, 10, etc. Porque 2 \cdot 1 = 2, 2 \cdot 2 = 4, 2 \cdot 3 = 6, 2 \cdot 4 = 8, 2 \cdot 5 = 10, y así podriamos continuar para encontrar más múltiplos de 2. Se escribe M_{2} = \left \{ 2, 4, 6, 8, 10 \right \}.

Para calcular el M.C.M. entre dos más números se calculan los múltiplos de dichos números y el menor número que se repita en los múltiplos corresponde al MCM.

Ejemplo

Calcular el MCM_{(12, 18)}

  1. Calcular los múltiplos.
  • M_{12} = \left \{ 12, 24, \boxed{36}, 48, 60 \right \}
  • M_{18} = \left \{ 18, \boxed{36}, 54, 72, 90 \right \}
  1. Identificar el M.C.M.

MCM_{(12, 18)} = \boxed{36}

Calcular el mínimo común múltiplo mediante descomposición en factores primos

Para calcular el MCM con este método se deben descomponer los números en factores primos y se multiplican todos los factores comunes elevados a la mayor potencia junto con los no comunes.

Ejemplo

Calcular el MCM_{(12, 18)}

  1. Descomponer en factores primos.

12 = 2^{2} \cdot 3

mínimo común múltiplo

18 = 2 \cdot 3^{2}

  1. Identificar los factores comunes con mayor exponente y los no comunes.

12 = \boxed{2^{2}} \cdot 3 y 18 = 2 \cdot \boxed{3^{2}}

  1. Multiplicar.

2^{2} \cdot 3^{2} = 4 \cdot 9 = 36

Respuesta:

MCM_{(12, 18)} = 36

Variación del método (más simple)

La variación consta en descomponer los números al mismo tiempo. En el algoritmo lo único que cambia es que si un número no es divisible de forma exacta por el primo seleccionado, este se mantiene hasta que se pueda dividir, para finalmente multiplicar todos los factores primos.

Calcular el MCM_{(12, 18)}

  1. Descomponer en factores primos.
mínimo común múltiplo
  1. Multiplicar los factores primos.

2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36

Respuesta:

MCM_{(12, 18)} = 36

Calcular el mínimo común múltiplo usando el máximo común divisor

El Máximo común divisor o MCD de dos o más números es el mayor número que divide de forma exacta a los números, es decir, al dividir su resto es cero.

Para calcular el M.C.M. de dos números usando el M.C.D. se multiplican ambos números y se dividen en el MCD.

MCM_{(a, b)} = \frac{a \cdot b}{MCD_{(a, b)}}

Ejemplo

Calcular el MCM_{(12, 18)}

  1. Calcular el MCD entre 12 y 18.
  • D_{12} = \left \{ 2, 3, 4, \boxed{6}, 12 \right \}
  • D_{18} = \left \{ 2, 3, \boxed{6}, 18 \right \}
  1. Aplicar la fórmula.

Datos: a = 12, b = 18 y MCD_{(12, 18)} = 6

MCM_{(12, 18)} = \frac{12 \cdot 18}{6}

MCM_{(12, 18)} = \frac{216}{6}

MCM_{(12, 18)} = 36

Respuesta:

MCM_{(12, 18)} = 36

Calcular el M.C.M. entre tres o más números

Para calcular el mínimo común múltiplo entre tres o más números se utiliza la variación del método de descomposición de factores primos.

Ejemplo

Calcular el MCM_{(12, 18, 26)}

  1. Descomponer en factores primos.
mínimo común múltiplo
  1. Multiplicar los factores primos.

2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 13 = 468

Respuesta:

MCM_{(12, 18, 26)} = 468

Propiedades

  • MCM_{(a, a)} = a

Ejemplo: MCM_{(5, 5)} = 5

  • Si b es múltiplo de a, entonces MCM_{(a, b)} = b

Ejemplo: MCM_{(3, 27)} = 27

  • Si a y b son números primos, MCM_{(a, b)} = a \cdot b

Ejemplo: MCM_{(2, 7)} = 2 \cdot 7 = 14

  • Si a y b son primos relativos, MCM_{(a, b)} = a \cdot b

Ejemplo: MCM_{(4, 25)} = 4 \cdot 25 = 100

  • Sean a, b y MCM_{(a, b)} = c, si se multiplica o divide a y b por un número d, entonces el MCM_{(a, b)} = c también se multiplica o divide por d.

Ejemplo: MCM_{(12, 18)} = 36, si multiplicamos por 3, 12 \cdot 3 = 36 y 18 \cdot 3 = 54, entonces MCM_{(36, 54)} = MCM_{(12, 18)} \cdot 3

Recursos

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Diego Gallardo

Profesor de Matemática en enseñanza básica y media, aficionado a la creación de contenidos y fan de pederse en el cerro ⛺.

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