Números Enteros (Z)

01/06/2020 · Actualizado: 20/08/2023

Encuentra toda la información sobre el conjunto de los NÚMEROS ENTEROS, cuales son, definición, ejemplos, clasificación y propiedades.

Cuando vamos al supermercado, escogemos 3 huevos, 4 panes, 1 kilo de jamón, 1 litro de leche y tenemos el desayuno; estas cantidades nos expresan cantidades completas que no vienen acompañadas de restantes o decimales. Así podemos elegir opciones ilimitadas de productos.

Estos números “exactos”, que expresan cantidades, son conocidos como números enteros. Ellos poseen ciertas características y en este artículo hablaré más sobre ellos.

Índice de contenido

¿Qué y cuáles son los números enteros?
Clasificación y representación de números enteros en la recta numérica
Propiedades de los números enteros
Regla o ley de los signos
- Para la suma
- Para la multiplicación y división
Los números ordinales
Números cardinales
Importancia de los números enteros
Limitantes de los números enteros
¿Cuáles números no son enteros?

¿Qué y cuáles son los números enteros?

Son aquellos números cuyo valor representa unidades completas, es decir, no poseen sobrantes ni divisiones, si hablamos de su denotación significa que no tienen 'decimales'.

Por lo que los números enteros estan compuestos por los números negativos, el cero y los números positivos, es decir, desde el infinito negativo al cero, hasta el infinito positivo, siempre y cuando cumplan con la condición de ser exactos, como por ejemplo, -2, -1, 0 , 1, 2, etc.

Otros 10 ejemplos de números enteros negativos y positivos son: -92, -50, -12, -4, 7, 6, 5, 15, 26, 75, entre muchos más.

Matemáticamente se denotan con la letra $\mathbb{Z}$ y se definen como:

Definición de los números enteros

$\mathbb{Z} = { - \infty, , -3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, , \infty + }$

El conjunto de los números enteros z contiene a los números naturales n (números exactos positivos), esto quiere decir que todo número natural también es un entero. Este concepto se puede representar mediante un diagrama como el que se muestra a continuación:

diagrama de inclusión de números naturales en el conjuto de los números enteros

Clasificación y representación de números enteros en la recta numérica

Los números enteros se clasifican en:

$\mathbb{Z}^{-}$ que corresponden a los enteros negativos.
0 que es el punto medio entre los números negativos y positivos.
$\mathbb{Z}^{+}$ que corresponden a los enteros positivos.

Al igual que con los números naturales, un entero se puede representar o ubicar en una recta numérica a través de un punto en la posición del valor correspondiente, por ejemplo, si queremos representar el número -3, en la recta númerica marcamos el tres negativo con un punto, tal como se muestra en la imagen.

representar un número entero en la recta numérica

Propiedades de los números enteros

Son infinitos

Se cuentan desde el $- \infty$ hasta cantidades inimaginables al conocimiento humano ( $+ \infty$ ). Ejemplo de ello tenemos que conocemos números para expresar cantidades, años, periodos; 1, 2, 100, 1986, 10000. Así como números que van más allá de nuestra comprensión, como los años luz o millones de células en nuestro cuerpo, sin embargo, encuentran cifras aproximadas en números enteros.

Se expresan en unidades completas

Esto quiere decir que no presentan decimales, sobrantes o porciones en la unidad. 20 no es igual a 20.01 o 20.99. Son números completos, sin comas, puntos o fracciones.

Para la suma

Clausura o interna

Si se suman o restan dos números enteros el resultado siempre pertenecerá a este conjunto.

$\forall a, b \in \mathbb{Z} \rightarrow a\pm b=k, k \in \mathbb{Z}$

Resultado en suma: Si sumas numero enteros, el producto o resultado se expresa de igual forma en números enteros. Ejemplo: sumas horas enteras del tiempo que pasas en la pc y su resultado es entero. 6horas + 3horas + 5horas = 14 horas en total.

Resultado en resta: Esto también pasa con la resta, si restas números enteros, el producto o resultado es en número entero. Ejemplo: si mayo tiene 31 días y le restas 25 días, el resultado es 6 días.

Asociativa

Independiente del orden en que se realice una suma, el resultado no cambia.

$(a+b)+c=a+ (b+c)$

Conmutativa

El orden de los sumandos no altera el resultado.

$a+b=b+a$

Elemento neutro

El elemento neutro para la suma es el cero.

$a \pm 0 = a$

Elemento opuesto

Todo número perteneciente al conjunto Z tiene un inverso, tal que, al sumarlos el resultado es cero.

$a+(-a)=0$

Para la multiplicación

En sí, son las mismas que para la suma con sus variantes para el producto y cociente.

Clausura o interna

$\forall a, b \in \mathbb{Z} \rightarrow a\cdot b=k, k \in \mathbb{Z}$

Resultados en multiplicación: Cuando multiplicas números enteros, ya sean positivos o negativos, el producto o resultado también es en números enteros. Ejemplo: 4 x 25 = 100

Resultados en división: Ahora bien, aquí sí cambia un poco la regla; para que en una división su producto o resultado sea en números enteros, el dividendo (número total) debe ser múltiplo del divisor (cantidades entre las que se dividirá el número total). Por ejemplo: 36/4, 20/5, 100/2. Si no es múltiplo divisor, arrojará decimales y no será numero entero.

Resultados en cuadrado: Todo número tiene su cuadrado en otro número entero. Por ejemplo: 4 x 4 = 16

Raíz cuadrada: En un número entero, para que su raíz sea exacta, dicho número debe ser también el cuadrado de un número entero. Ejemplo: la raíz cuadrada de 49 es 7, es decir, un número entero.

Resultados de un cubo: El producto o resultado de un número natural elevado al cubo es otro número natural. Por ejemplo, tenemos cuando elevamos 7³su resultado es 343.

Resultados de una raíz cúbica: El producto o resultado de una raíz cúbica que sea expresada en números naturales, debe ser el cubo de una cantidad entera. Asimismo, el 0 es un número entero.

Asociativa

$(a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c )$

Conmutativa

$a \cdot b=b \cdot a$

Elemento neutro

En este caso el elemento neutro es el número uno.

$a \cdot 1=a$

Distributiva

Esta propiedades combina la multiplicación con la suma.

$a \cdot \left (b+c \right ) = a \cdot b +a \cdot c$

Regla o ley de los signos

La ley de signos sirve para calcular adiciones, sustracciones, productos y cocientes en el conjunto Z, aunque hay que tener cuidado ya que para la suma y resta solo indica operación, mientras que para la multiplicación y división entrega el signo de la respuesta.

Para la suma

Positivo con positivo: Se suma y el resultado es +
Positivo con negativo: Se resta y se mantiene el signo del número con valor absoluto mayor
Negativo con positivo: Se resta y se mantiene el signo del número con valor absoluto mayor
Negativo con negativo: Se suma y el resultado es -

Cabe destacar que esta es una descripción general ya que cada caso es particular, por lo que te invito a leer más sobre la suma y resta de números enteros en estas clases:

Cómo restar números enteros

Suma de números enteros

Para la multiplicación y división

Positivo con positivo: El resultado es positivo (+)
Positivo con negativo: El resultado es negativo (-)
Negativo con positivo: El resultado es negativo (-)
Negativo con negativo: El resultado es positivo (+)

En estos casos la ley de signos se aplica de la misma manera en cualquier operación, aunque si quieres profundizar en la múltiplicación y división de números enteros te dejo las clases:

División de números enteros

Multiplicación de números enteros

Los números ordinales

Por otro lado, los números ordinales son aquellos que expresan posición para objetos o personas en una enumeración, lista, turno de llegada, premio, sucesión, entre otros; por ende, son números enteros y se cuentan desde el primero hasta el infinitésimo. Por ejemplo:

1° primero
2° segundo
3° tercero
4°cuarto
5° quinto
100° centésimo
187° centésimo octogésimo séptimo
1000° milésimo
5875° cincomilésimo octingentésimo septuagésimo quinto
10001° diezmilésimo primero

Hasta números infinitos que podamos pensar.

Números cardinales

Los números expresados al hablar o escribirlos en letras, son números cardinales; estos se expresan como números enteros, de esta forma:

1 uno
8 ocho
30 treinta
400 cuatrocientos
20000 veinte mil
2000000 dos millones

Y así sucesivamente; también son infinitos y va a depender de la cantidad de números enteros que se quieran expresar con letras.

Importancia de los números enteros

La utilidad de los números enteros es cotidiana y se da varias veces al día; cuando queremos expresar cantidades exactas y agrupadas, se hacen por medio de ellos. Aunque no estuvimos presentes antes de la época de su creación, hoy podemos asegurar que sin ellos, la vida sería muy difícil de llevar.

Primero, nos sirven para contar, de hecho, estamos empezando esta lista con un número entero.
Después de su aparición vinieron con ellos las operaciones matemáticas básicas: suma, resta, multiplicación y división.
Sirven para operaciones matemáticas más complejas.
Nos permite establecer escalas de diversas cantidades para ubicarnos en tiempo y espacio.
Sirven para medir temperaturas.
Son muy beneficiosos para agrupar años o periodos.
Además son fundamentales para agrupar cuántos elementos tenemos comunes, cuántas puertas tenemos en casa, cuántos días faltan para navidad, cuántos kilos rebajamos gracias a nuestra última dieta, cuánto tiempo ha pasado desde nuestras últimas vacaciones, en qué lugar quedamos en la última competencia o en qué piso vivimos.

En fin, sin los número enteros se haría súper complicado tener y dar un trato justo en cuanto a intercambio económico, porque sería subjetiva la transacción. Tampoco sabríamos qué edad tenemos o en qué año nacimos y por supuesto, en la historia no se hablaría de los años antes o después de cristo como puntos de referencia.

Limitantes de los números enteros

Ahora bien, su uso múltiple y cotidiano no lo exime de tener ciertas debilidades palpables el día de hoy; por ende, lo que no tiene respuesta con números enteros, sí las tiene con decimales o fracciones.

Por ejemplo: imaginemos si cancelamos el combustible con números enteros; nuestra economía se vería comprometida porque gracias a los decimales es que podemos ahorrar y pagar la cantidad justa.

Sin embargo, esto no limita la relevancia e importancia de los números enteros, por el contrario, se mantiene el hecho de que sin duda son la base de todo nuestro sistema numérico.

¿Cuáles números no son enteros?

Los números que no son enteros corresponden a los números decimales. La característica principal de estos números es que poseen una parte decimal, es decir, tienen una "coma" luego de su parte entera, por ejemplo: 1,5 ; -3,78 ; entre otros.

Los números decimales se clasifican en tres tipos y están contenidos dentro del conjunto de los racionales. Si quieres saber más al respecto te invito a leer este articulo.

Diego Gallardo

Profesor de Matemática en enseñanza básica y media, aficionado a la creación de contenidos y fan de pederse en el cerro ⛺.