Propiedades de las potencias

16/10/2021 · Actualizado: 18/02/2022

Aplicar las propiedades de las potencias para la multiplicación, división, potencia de exponente cero y potencia de una potencia.

Las potencias son abreviaciones de multiplicaciones iteradas compuestas por una base y un exponente. Debido a esto en operaciones como la multiplicación y división adquieren propiedades únicas cuando se aplican a las potencias que nos pueden ayudar a simplificar los cálculos, y en este articulo te muestro cada una de estas propiedades.

Índice de contenido

Propiedades de la potenciación para la multiplicación

Multiplicación de potencias de igual BASE

a^{b} \cdot  a^{c} =  a^{b+c}

Para resolver multiplicaciones de potencias con igual base, se mantiene la base y se suman los exponentes.

Ejemplo 1

2^{3} \cdot  2^{2} =  2^{3+2} = 2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 =32

Ejemplo 2

2^{5} \cdot  2^{-2} =  2^{5+(-2)} = 2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

Ejemplo 3

\left ( \frac{1}{5} \right )^{-2} \cdot \left ( \frac{1}{5} \right )^{4} = \left ( \frac{1}{5} \right )^{(-2) + 4} = \left ( \frac{1}{5} \right )^{2} =  \left ( \frac{1}{5} \right ) \cdot  \left ( \frac{1}{5} \right ) =  \left ( \frac{1}{25} \right )

Multiplicación de potencias de igual EXPONENTE

a^{c} \cdot  b^{c} =  (a \cdot b)^{c}

Para resolver multiplicaciones de potencias con igual exponente, se mantiene el exponente y se multiplican las bases.

Ejemplo 1

2^{2} \cdot 3^{2} = (2 \cdot 3)^{2} = 6^{2} = 6 \cdot 6 = 36

Ejemplo 2

2^{3} \cdot (-3)^{3} = (2 \cdot -3)^{3} = (-6)^{3} = (-6) \cdot (-6) \cdot (-6) = -216

Ejemplo 3

\left ( \frac{1}{2} \right )^{2} \cdot \left ( \frac{1}{5} \right )^{2} = \left ( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} \right )^{2} =  \left ( \frac{1}{5} \right )^{2} = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{100}

Propiedades de la potenciación para la división

División de potencias de igual BASE

a^{b} \div  a^{c} =  a^{b-c}

Para resolver divisiones de potencias con igual base, se mantiene la base y se restan los exponentes.

Ejemplo 1

2^{5} \div  2^{2} =  2^{5-2} = 2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

Ejemplo 2

2^{5} \div  2^{-2} =  2^{5-(-2)} = 2^{7} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128

Ejemplo 3

\left ( \frac{1}{5} \right )^{4} \div \left ( \frac{1}{5} \right )^{2} = \left ( \frac{1}{5} \right )^{4-2} = \left ( \frac{1}{5} \right )^{2} = \frac{1}{5} \cdot  \frac{1}{5} = \frac{1}{10}

División de potencias de igual EXPONENTE

a^{c} \div  b^{c} =  (a \div b)^{c}

Para resolver dividir de potencias con igual exponente, se mantiene el exponente y se dividen las bases.

Ejemplo 1

15^{2} \div 5^{2} = (15 \div 5)^{2} = 3^{2} = 3 \cdot 3 = 9

Ejemplo 2

(-33)^{3} \div  3^{3} = (-33 \div 3)^{3} = (-11)^{3} = -11 \cdot -11 \cdot -11 = -1.331

Ejemplo 3

\left ( \frac{2}{3} \right )^{2} \div \left ( \frac{1}{5} \right )^{2} =  \left (  \frac{2}{3} \div \frac{1}{5} \right )^{2} = \left ( \frac{10}{3} \right )^{2} = \frac{10}{3}  \cdot  \frac{10}{3} = \frac{100}{9}

Potencias de exponente cero

a^{0} = 1

Todo número elevado a cero es igual a uno. Ejemplo: 14^{0} = 1

Demostración

Supongamos que 2^{0} = 1

Entonces 2^{0} =  2^{3-3}

Aplicando las propiedades de potencias para la división de igual base.

2^{0} = 2^{3-3} = \frac{2^{3}}{2^{3}}

Resolviendo la división

2^{0} = 2^{3-3} = \frac{2^{3}}{2^{3}}=1

Potencia de una potencia

(a)^{b^{c}} = a^{b \cdot c}

Para resolver la potencia de una potencia se deben multiplicar los exponentes.

Ejemplo 1

(2)^{2^{3}} = 2^{2 \cdot 3} = 2^{6} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 =64

Ejemplo 2

(-5)^{3^{2}} = (-5)^{3 \cdot 2} = (-5)^{6} = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 15.625

Recursos

Presentaciones

Power PointVer carpeta

Guías de aprendizaje

WordVer carpeta

Diego Gallardo

Profesor de Matemática en enseñanza básica y media, aficionado a la creación de contenidos y fan de pederse en el cerro ⛺.

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