Descomposición o simplificación de raíces cuadradas

23/02/2022 · Actualizado: 23/02/2022

Aprende a realizar una descomposición o simplificación de raíces cuadradas con ejemplos explicados paso a paso.

Este es un procedimiento relativamente sencillo que sirve para resolver ejercicios de operaciones combinadas, específicamente con números reales aplicados en raíces irracionales.

Si haz llegado hasta acá significa que ya descompusiste números en sumas o potencias de 10 y también haz simplificado fracciones, ya sea en un nivel simple o díficil el concepto es el mismo para las raíces cuadradas, mostrar el número de una forma distinta sin alterar su valor. En este caso se basa en mostrar una raíz como un número entero acompañado de una raíz irracional (\sqrt{8} = 2\sqrt{2})

Índice de contenido

Cómo realizar una descomposición o simplificación de raíces cuadradas

Para descomponer o simplificar una raíz cuadrada se debe identificar la multiplicación de una raíz perfecta por una raíz imperfecta, cuyo resultado sea igual a la raíz a descomponer o simplificar.

Esto quiere decir que debemos identificar la raíces exactas o perfectas y las raíces imperfectas para resolver estos ejercicios. La caracteristica principal de las raíces cuadradas exactas o perfectas es que su resultado es un número entero y las raíces imperfectas su resultado es un número decimal. Vamos a ver unos ejemplos:

Raíces exactas o perfectasRaíces imperfectas
\sqrt{4} = 2 \sqrt{2} = 1,41...
\sqrt{9} = 3 \sqrt{3} = 1,73...
\sqrt{16} = 4 \sqrt{5} = 2,23...
\sqrt{25} = 5 \sqrt{6} = 2,44
\sqrt{36} = 6 \sqrt{7} = 2,64
\sqrt{49} = 7 \sqrt{10} = 3,16
......
Nota: Recomiendo que crees una tabla igual en tu cuaderno con más raíces exactas e imperfectas.

Ya conociendo todo esto podemos comenzar a ver unos ejemplos sobre descomposición o simplificación de raíces cuadradas.

Ejemplo 1

Descomponer o simplificar \sqrt{18}

Existen dos métodos para resolver este tipo de ejercicios (al menos que yo conozco), uno que utiliza las cantidades subradicales de las raíces imperfectas y el otro para quienes conocen bien las raíces exactas o perfectas, ambas mediante la división.

Método 1: Utilizando el radicando de raíces imperfectas

La clave de este método es tomar las cantidades subradicales de las raíces imperfectas en orden, es decir, 2, luego 3, 5, 6,... etc para dividir el radicando de la raíz a simplificar, lo que se conoce como "factorización en números primos" solo que aquí se utilizan más números. Con el fin de encontrar en la multiplicación dos números iguales que se puedan escribir como una potencia al cuadrado, y simplificarla una vez sea reemplazada en la raíz.

Paso 1: Identificar la multiplicación

Imagen 1

Explicación imagen 1: Al dividir 18 \div 2 = 9, como "9" no es divisible por 2 de forma exacta se divide por 3, 9 \div 3 = 3, como "3" es divisible por 3 volvemos a utilizarlo, 3 \div 3 = 1, cuando se llega a 1 la operación esta lista, y sabemos que los números utilizados para dividir si los multiplicamos el resultado será 18, es decir, 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18.

Paso 2: Aplicar propiedades para simplificar

Por lo tanto ahora: \sqrt{18} = \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 3}, luego se escribe la multiplicación como potencia, \sqrt{18} = \sqrt{2 \cdot 3^{2}}, por propiedades de raíces se separa la multiplicación en dos raíces, \sqrt{18} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3^{2}}, se simplifica la raíz cuadrada con la potencia al cuadradado, \sqrt{18} = \sqrt{2} \cdot 3, finalmente se ordena el número con la raíz, \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.

Respuesta: \sqrt{18} = 3\sqrt{2}

Método 2: Utilizando el radicando de raíces exactas o perfectas

Este método es mi favorito ya que consiste en dividir la cantidad subradical en las cantidades subradicales de las raíces perfectas (4, 9, 16, 25, etc) hasta obtener como resultado un número que corresponda al radicando de una raíz imperfecta (siempre la más pequeña).

Paso 1: Identificar la multiplicación

  • 18 \div 4 = 4,5 (por lo tanto no sirve ya que obtuvimos como resultado un decimal)
  • 18 \div 9 = 2 (Esta operación sirve porque el resultado de la división es la cantidad subradical de la raíz imperfecta más pequeña $latex \sqrt{2})

De esta forma sabemos que 9 \cdot 2 = 18.

Paso 2: Aplicar propiedades para simplificar

Por lo tanto ahora: \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2}, separamos la multiplicación en dos utilizando las propiedades de raíces, \sqrt{18} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2}, resolvemos la raíz perfecta, \sqrt{18} = 3 \cdot \sqrt{2}, ordenamos, \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.

Respuesta: \sqrt{18} = 3\sqrt{2}

Ejemplo 2

Descomponer o simplificar \sqrt{20}

Método 1: Utilizando el radicando de raíces imperfectas

Paso 1: Identificar la multiplicación

Paso 2: Aplicar propiedades para simplificar

\sqrt{20} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 5}

\sqrt{20} = \sqrt{2^{2} \cdot 5}

\sqrt{20} = \sqrt{2^{2}} \cdot \sqrt{5}

\sqrt{20} = 2 \cdot \sqrt{5}

\sqrt{20} = 2\sqrt{5}

Respuesta: \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

Método 2: Utilizando el radicando de raíces exactas o perfectas

Paso 1: Identificar la multiplicación

  • 20 \div 4 = 5 (por lo tanto esta operación sirve)

Por lo tanto: 4 \cdot 5 = 20

Paso 2: Aplicar propiedades para simplificar

\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5}

\sqrt{20} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5}

\sqrt{20} = 2 \cdot \sqrt{5}

\sqrt{20} = 2\sqrt{5}

Respuesta: \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

Ejemplo 3

Descomponer o simplificar \sqrt{32}

Método 1: Utilizando el radicando de raíces imperfectas

Paso 1: Identificar la multiplicación

Paso 2: Aplicar propiedades para simplificar

\sqrt{32} = \sqrt{4 \cdot 4 \cdot 2}

\sqrt{32} = \sqrt{4^{2} \cdot 2}

\sqrt{32} = \sqrt{4^{2}} \cdot \sqrt{2}

\sqrt{32} = 4 \cdot \sqrt{2}

\sqrt{32} = 4\sqrt{2}

Respuesta: \sqrt{32} = 4\sqrt{2}

Método 2: Utilizando el radicando de raíces exactas o perfectas

Paso 1: Identificar la multiplicación

  • 32 \div 4 = 8 (Como el resultado no es tan pequeño probamos con más divisiones)
  • 32 \div 9 = 3,\bar{5} (No sirve porque el resultado es un número decimal)
  • 32 \div 16 = 2 (Esta operación sirve porque el resultado de la división es la cantidad subradical de la raíz imperfecta más pequeña \sqrt{2}

Por lo tanto: 16 \cdot 2 = 32

Paso 2: Aplicar propiedades para simplificar

\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2}

\sqrt{32} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2}

\sqrt{32} = 4 \cdot \sqrt{2}

\sqrt{32} = 4\sqrt{2}

Respuesta: \sqrt{32} = 4\sqrt{2}

Recursos

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Diego Gallardo

Profesor de Matemática en enseñanza básica y media, aficionado a la creación de contenidos y fan de pederse en el cerro ⛺.

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