Propiedades de raíces enésimas

16/03/2022 · Actualizado: 16/03/2022

Conoce las propiedades de las raíces enésimas aquí donde son explicadas mediante ejemplos resueltos paso a paso.

Las raíces enésimas se pueden escribir como una potencia de exponente racional, y debido a esta condición podemos aplicar propiedades de potencias con ellas.

\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}

Ejemplo: \sqrt[4]{2^{3}} = 2^{\frac{3}{4}}

En el caso de que la raíz no presente índice se considera una raíz cuadrada (índice = 2), y en el caso de que la cantidad subradical no presente exponente se considera como exponente 1.

Conociendo esto podemos deducir las siguientes propiedades de raíces enésimas.

Índice de contenido

Producto de raíces

El producto de raíces de mismo índice es igual al producto de sus cantidades subradicales.

\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}

Demostración

\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}} = \left (a \cdot b \right )^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a \cdot b}

Ejemplo 1

\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}

Aplicando el producto de raíces

\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2 \cdot 4} = \sqrt[3]{8}

Resolviendo la raíz enésima

\sqrt[3]{8} = 2

Ejemplo 2

\sqrt[5]{9} \cdot \sqrt[5]{27}

Aplicando el producto de raíces

\sqrt[5]{9} \cdot \sqrt[5]{27} = \sqrt[5]{9 \cdot 27} = \sqrt[5]{243}

Resolviendo la raíz enésima

\sqrt[5]{243} = 3

Cociente de raíces

El cociente de raíces de mismo índice es igual al cociente de sus cantidades subradicales.

\sqrt[n]{a} \div \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \div b}

o

\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}

Desmostración

\sqrt[n]{a} \div \sqrt[n]{b} = a^{\frac{1}{n}} \div b^{\frac{1}{n}} = \left (a \div b \right )^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a \div b}

Ejemplo 1

\sqrt[3]{500} \div \sqrt[3]{4}

Aplicando el cociente de raíces

\sqrt[3]{500} \div \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{500 \div 4} = \sqrt[3]{125}

Resolviendo la raíz enésima

\sqrt[3]{125} = 5

Ejemplo 2

\sqrt[4]{7.776} \div \sqrt[4]{6}

Aplicando el cociente de raíces

\sqrt[4]{7.776} \div \sqrt[4]{6} = \sqrt[4]{7.776 \div 6} = \sqrt[4]{1.296}

Resolviendo la raíz enésima

\sqrt[4]{1.296} = 6

Potencia de una raíz

La raíz de una potencia es igual a la misma raíz donde el exponente de la misma pasa a ser el exponente de la cantidad subradical.

\left ( \sqrt[n]{a} \right )^{m}

Demostración

\left ( \sqrt[n]{a} \right )^{m} = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}

Ejemplo 1

\left ( \sqrt[3]{2} \right )^{2} =

Aplicando la potencia de una raíz

\left ( \sqrt[3]{2} \right )^{2} = \sqrt[3]{2^{2}} = \sqrt[3]{2^{2}} = \sqrt[3]{4}

Ejemplo 2

\left ( \sqrt[5]{3} \right )^{4} =

Aplicando la potencia de una raíz

\left ( \sqrt[5]{3} \right )^{4} = \sqrt[5]{3^{4}} = \sqrt[5]{3^{4}} = \sqrt[5]{81}

Raíz de una raíz

La raíz de índice m de la raíz de índice n es igual a la raíz de índice m \cdot n

\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}

Demostración

\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m]{a^{\left (\frac{1}{n} \right )}} = \left ( a^{\left (\frac{1}{n} \right )} \right )^{\frac{1}{m}} = a^{\left ( \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m} \right )} = a^{\left ( \frac{1}{m \cdot n} \right )} = \sqrt[m \cdot n]{a}

Ejemplo 1

\sqrt[2]{\sqrt[3]{64}} =

Aplicando la raíz de un raíz

\sqrt[2]{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[2 \cdot 3]{64} = \sqrt[6]{64}

Resolviendo la raíz enésima

\sqrt[6]{64} = 2

Ejemplo 2

\sqrt[4]{\sqrt{1}} =

Aplicando la raíz de una raíz

\sqrt[4]{\sqrt{1}} = = \sqrt[4 \cdot 2]{1} = \sqrt[8]{1}

Resolviendo la raíz enésima

\sqrt[8]{1} = 1

Anulación de la raíz

Si la cantidad subradical de una raíz de índice n esta elevada a n, el exponente con el radical se anulan.

\sqrt[n]{a^{n}} = a

Demostración

\sqrt[n]{a^{n}} = a^{\left ( \frac{n}{n} \right )} = a^{1} = a

Ejemplo 1

\sqrt[6]{9^{6}} =

Aplicando la anulación de la raíz

\sqrt[6]{9^{6}} = 9

Ejemplo 2

\sqrt[8]{13^{8}} =

Aplicando la anulación de la raíz

\sqrt[8]{13^{8}} = 13

Recursos

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Diego Gallardo

Profesor de Matemática en enseñanza básica y media, aficionado a la creación de contenidos y fan de pederse en el cerro ⛺.

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