Raíz cuadrada

14/02/2022 · Actualizado: 14/02/2022

Conoce aquí las partes de la raíz cuadrada, su definición, las raíces cuadradas exactas y como estimarlas a varios decimales con ejemplos.

Índice de contenido

Partes de una raíz cuadrada

La raíz cuadrada se compone por 4 partes:

  • Índice: Para las raíces cuadradas este valor siempre es "2", pero no se escribe ya que corresponde al menor valor que puede adquirir el índice.
  • Radical: Corresponde al símbolo de raíz \sqrt{}
  • Radicando o cantidad subradical: Es el valor que se ubica dentro del radical.
  • Raíz o valor: Es el resultado o valor númerico que se obtiene al calcular la raíz utilizando potencias o mediante la aproximación.
Partes de la raíz cuadrada

Definición

La raíz cuadrada (\sqrt{}) de un número natural b corresponde a un único número positivo a que cumple: a^{2} = b y se representa como \sqrt{b} = a.

A partir de esta definición podemos notar que las raíces cuadradas son la operación inversa de las potencias al cuadrado y pueden resultar de forma exacta (número entero) o con decimales. Debido a esto es bastante sencillo identificar la solución a una gran cantidad de raíces exactas o también llamadas raíces cuadradas perfectas, como por ejemplo: \sqrt{4}=2 ya que 2^{2} = 4.

Estas raíces son aplicables tal como dice la definición a numeros naturales debido a que ningún número negativo cumple a^{2} = negativo, ya que al elevar cualquier número al cuadrado su resultado siempre es positivo, por lo que las raíces cuadradas negativas no tienen solución en los números reales.

Cómo calcular raíces cuadradas

Existen dos casos que corresponden a calcular raíces perfectas y a las que no lo son, en el primer caso utilizamos las potencias para su resolución y en el segundo recurrimos a la aproximación o estimación. Vamos a ver ambos casos.

Raíces cuadradas exactas o perfectas

Este tipo de raíces se caracterizan porque su raíz o valor es un número entero y calcularlas es muy simple ya que se debe buscar un número que multiplicado por si mismo de como resultado el radicando o cantidad subradical, por ejemplo, para calcular \sqrt{121} = se debe multiplicar el número 11 por si mismo (11 \cdot 11 = 121), por lo tanto \sqrt{121} = 11.

Puedes notar que se utiliza el concepto de potencia y con una simple tabla que compare potencias cuadradas con raíces cuadradas podemos identificarlas.

Potencia al cuadradoRaíz cuadrada
1^{2} = 1 \cdot 1 = 1\sqrt{1} = 1
2^{2} = 2 \cdot 2 = 4\sqrt{4} = 2
3^{2} = 3 \cdot 3 = 9\sqrt{9} = 3
4^{2} = 4 \cdot 4 = 16\sqrt{16} = 4
5^{2} = 5 \cdot 5 = 25\sqrt{25} = 5
6^{2} = 6 \cdot 6 = 36\sqrt{36} = 6
7^{2} = 7 \cdot 7 = 49\sqrt{49} = 7
8^{2} = 8 \cdot 8 = 64\sqrt{64} = 8
9^{2} = 9 \cdot 9 = 81\sqrt{81} = 9
10^{2} = 10 \cdot 10 = 100\sqrt{100} = 10

Con este método puede calcular raíces cuadradas exactas más grandes como por ejemplo para calcular \sqrt{529} se debe multiplicar 23 \cdot 23 = 529 que corresponde a 23^{2} = 529, por lo tanto \sqrt{529} = 23.

Calcular radicando o cantidad subradical de una raíz cuadrada

Es muy común exponer ejercicios donde el radicando es una incógnita, pero la raíz o valor si se conoce, en estos casos se debe multiplicar dicha raíz o valor por si misma para calcular el radicando.

Por ejemplo calcular la cantidad subradical de la siguiente raíz cuadrada \sqrt{x} = 3 tan solo multiplicamos 3 \cdot 3 = 9 por lo tanto la cantidad subradical es 9 (\sqrt{9} = 3).

Otro ejemplo es calcula el radicando de \sqrt{x} = 14 \rightarrow 14 \cdot 14 = 196 \Rightarrow \sqrt{196} = 14.

Estimación de raíces cuadradas

Tal como mencione anteriormente existen raíces cuadradas con resultados imperfectos, es decir, cuyo resultado presenta un número decimal. Para calcular estas raíces siempre podemos acudir a la confiable calculadora, pero para los casos en que no se pueda utilizar nos queda el siguiente método.

Para estimar la raíz cuadrada de un número natural b (\sqrt{b}), se deben elegir dos números x, \thinspace y \thinspace \epsilon \thinspace \mathbb{N} tal que x < b < y.
Estos números deben cumplir con la condición de ser una raíz cuadrada exacta o perfecta, es decir, \sqrt{x} = a y \sqrt{y} = b, siendo a y b dos números consecutivos.

Esto significa que identificaremos las raíces cuadradas más cercanas a la que se desea estimar, para establecer un rango que ayude a buscar la estimación más exacta posible utilizando el mismo concepto de multiplicar un número por el mismo y comparar resultados.

Ejemplo

Estimar a uno y dos decimales \sqrt{8}

Paso 1: Identificar la raíz cuadrada exacta anterior y posterior

\sqrt{4} < \sqrt{8} < \sqrt{9}

Paso 2: Resolver las raíces cuadradas perfectas

2 < \sqrt{8} < 3

Esto significa que \sqrt{8} esta entre 2 y 3. Al analizar el paso 1 nos podemos dar cuenta que la \sqrt{8} esta más cercana a \sqrt{9}, esto significa que su estimación esta más cercana a 3.

Paso 3: Buscar la multiplicación más cercana a la cantidad subradical (en este caso 8)

Como la \sqrt{8} es más cercana a 3 multiplicaremos los decimales 2,5 hasta el 2,9 para identificar el más cercano a 8

  • 2,5 \cdot 2,5 = 6,25
  • 2,6 \cdot 2,6 = 6,76
  • 2,7 \cdot 2,7 = 7,29
  • 2,8 \cdot 2,8 = 7,84
  • 2,9 \cdot 2,9 = 8,41

Podemos apreciar que los más cercanos son los decimales 2,8 y 2,9. Para seleccionar el más apropiado debemos identificar cual de ambos posee la menor cantidad decimal restante o sobrante para llegar a la cantidad subradical (8).

  • 2,8 \cdot 2,8 = 7,84 le faltan 0,16 para llegar a 8
  • 2,9 \cdot 2,9 = 8,41 le sobran 0,41 para alcanzar a 8

Por lo tanto la estimación más exacta a un decimal es 2,8. \sqrt{8} \approx 2,8.

No obstante en un ejercicio pueden pedir estimar a dos, tres o incluso cuatro decimales. En tal caso el prodecimiento es el mismo, como los decimales más próximos eran 2,8 y 2,9, pero estaba más cercano al radicando 2,8 se utilizan los números 2,81; 2,82; 2,83; 2,84 y 2,85 para multiplicarlos por si mismos y analizar cual esta más cercano a 8 y así sucesivamente dependiendo de la cantidad de decimales que solicite el ejercicio, en este caso solicitaron dos por lo que procedemos a calcular.

Paso 4: Estimar el segundo número decimal

  • 2,81 \cdot 2,81 = 7,8961
  • 2,82 \cdot 2,82 = 7,9524
  • 2,83 \cdot 2,83 = 8,0089
  • 2,84 \cdot 2,84 = 8,0656
  • 2,85 \cdot 2,85 = 8,1225

Se aprecia que los más cercanos son 2,82 y 2,83 por lo que calculamos las decimas faltantes o sobrantes para llegar a la cantidad subradical 8.

  • 2,82 \cdot 2,82 = 7,9524 le faltan 0,0476 para llegar a 8
  • 2,83 \cdot 2,83 = 8,0089 le sobran 0,0089 para alcanzar a 8.

Por lo tanto la estimación más exacta para dos decimales es 2,83. \sqrt{8} \approx 2,83

Recursos

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Diego Gallardo

Profesor de Matemática en enseñanza básica y media, aficionado a la creación de contenidos y fan de pederse en el cerro ⛺.

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