Raíz enésima

02/03/2022 · Actualizado: 15/12/2023

Comprende la raíz enésima conociendo su definición, partes y a través de ejemplos resueltos y explicados paso a paso.

Índice de contenido

Partes de una raíz enésima

La raíz enésima se compone por 4 partes:

  • Índice de la raíz (n): Indica el grado de la raíz. Si una raíz no presenta índice se asume que es 2, por lo tanto es una raíz cuadrada.
  • Radical: Corresponde al símbolo de raíz \sqrt{}
  • Radicando o cantidad subradical (a): Es el valor que se ubica dentro del radical.
  • Raíz o valor (b): Es el resultado o valor númerico que se obtiene al calcular la raíz utilizando potencias o mediante la aproximación.
partes de la raíz enésima

Se lee la raíz enésima de a es igual a b. Utilizando valores numéricos:

  • \( \sqrt[5]{243}=3 \) se lee la raíz quinta de 243 es igual a 3.
  • \( \sqrt[4]{16}=2 \) se lee la raíz cuarta de 16 es igual a 2.

Definición

La raíz enésima de un número real \( a \) se escribe \( \sqrt[n]{a} \), con \( n \) un número natural mayor que 1, corresponde al número \( b \) que cumple con \( \sqrt[n]{a} = b \) donde \( b^{n} = a \).

Por ejemplo:

\( \sqrt[\color{Red} 3]{\color{Green} 8}=\color{Blue} 2 \), porque \( \color{Blue} 2^{\color{Red} 3} = \color{Blue}2 \cdot \color{Blue}2 \cdot \color{Blue}2 = \color{Green} 8 \)

Dependiendo de \( a \) se observan las siguientes situaciones para \( n \).

- Cuando \( n \) es par: \( \sqrt[n]{-a} \) no es un número real.
- Cuando \( n \) es impar: \( \sqrt[n]{a} \) y \( \sqrt[n]{-a} \) siempre son números reales.

Esto quiere decir que para resolver raíces enésimas utilizaremos las potencias donde la "incógnita" o valor a calcular corresponde a la base de dicha potencia, aunque el ejercicio tiene dos variaciones más que te explicaré más adelante.

Vamos a ver unos ejemplos.

Ejemplo 1: Explicación

Calcular el valor de \( \sqrt[3]{125} \)

Para resolver estos ejercicios lo primero es identificar el valor a calcular, en este caso la raíz o valor es el número a calcular \( \sqrt[3]{125}= x \).

Al escribir como potencia se deben identificar las posiciones correctamente para no equivocarse. La base de la potencia corresponde al valor de la raíz, el exponente de la potencia es el índice de la raíz y el valor de la potencia es la cantidad subradical.

En este caso tenemos que \( x \) es la base de la potencia, \( 3 \) es el exponente y \( 125 \) es el valor de la potencia. Por lo que al escribir la potencia obtenemos \( x^{3}=125 \), esto quiere decir que debemos identificar un número que multiplicado tres veces por el mismo de como resultado 125.

Este número es el 5 ya que \( 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 \), entonces la respuesta es que \( \sqrt[3]{125}=5 \).

Respuesta: \( \sqrt[3]{125}=5 \Leftrightarrow 5^{3}=125 \)

Ejemplo 1.1: Organizando la explicación por pasos

Todo el proceso explicado anteriormente se puede organizar en tan solo dos pasos que puedes seguir cada vez que realices este tipo de ejercicios, considerando que conoces el procedimiento explicado anteriormente.

Vamos a resolver el ejercicio anterior simplificado en dos pasos

Paso 1: Escribir la raíz enésima como una potencia.

$$ \sqrt[3]{125}=x \Leftrightarrow x^{3}=125 $$

Paso 2: Calcular el valor de \( x \)

Dependiendo de la posición de la incógnita en la potencia el cálculo cambia, vamos a ver los casos 3 casos posibles:

  • Caso 1 - Incógnita en la base: Se debe identificar un número que elevado al exponente expuesto, su resultado sea el indicado en la operación.
  • Caso 2 - Incógnita en el exponente: La base dada se debe multiplicar hasta obtener el resultado indicado para luego contar la cantidad de veces que se multiplico que corresponderá al exponente o incógnita.
  • Caso 3 - Incógnita en el valor: Este es el más simple porque solo se debe calcular la potencia.

En el caso del ejemplo 1 tenemos que aplicar el caso 1 por lo que se identifica que el número 5 al elevarlo a 3 se obtiene 125, ya que se multiplica el número 5 tres veces por el mismo (esto se hace por tanteo, mientras más conozcas las potencias, más fáciles te resultarán estos ejercicios).

Y con estos simples dos pasos llegas a la respuesta: \( \sqrt[3]{125}=5 \).

Ejemplo 2

Calcular el valor de \( \sqrt[5]{32} \)

Paso 1: Escribir la raíz enésima como una potencia.

$$ \sqrt[5]{32}=x \Leftrightarrow x^{5}=32 $$

Paso 2: Calcular el valor de x

$$ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32 $$

$$ 2^{5}=32 $$

Respuesta:

$$ \sqrt[5]{32}=2 $$

Ejemplo 3

Calcular el valor de \( \sqrt[4]{256} \)

Paso 1: Escribir la raíz enésima como una potencia.

$$ \sqrt[4]{256}=x \Leftrightarrow x^{4}=256 $$

Paso 2: Calcular el valor de x

$$ 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 256 $$

$$ 4^{4}=256 $$

Respuesta:

$$ \sqrt[4]{256}=4 $$

Ejemplo 4

Calcular el valor de x \( \sqrt[5]{x}=3 \)

Paso 1: Escribir la raíz enésima como una potencia.

$$ \sqrt[5]{x}=3 \Leftrightarrow 3^{5}=x $$

Paso 2: Calcular el valor de x

$$ 3^{5} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243 $$

Respuesta:

$$ \sqrt[5]{243}=3 $$

Ejemplo 5

Calcular el valor de x \( \sqrt[x]{216}=6 \)

Paso 1: Escribir la raíz enésima como una potencia.

$$ \sqrt[x]{216}=6 \Leftrightarrow 6^{x}=216 $$

Paso 2: Calcular el valor de x

$$ 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216 $$

El número seis se multiplico tres veces, por lo que el exponente es 3

Respuesta:

$$ \sqrt[3]{216}=6 $$

Ejercicios online sobre Raíces enésimas

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Ejercicios: Raíces enésimas

Ponte a prueba con estos ejercicios sobre el Raíces enésimas.

1 / 5

$$ \sqrt[4]{81} = $$

2 / 5

$$ \sqrt[3]{216} = $$

3 / 5

$$ \sqrt[7]{-1} = $$

4 / 5

$$ \sqrt[8]{256} = $$

5 / 5

$$ \sqrt[3]{-343} = $$

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Propiedades de la raíz enésima

Si \( \sqrt[n]{a} \) y \( \sqrt[n]{b} \in \mathbb{R} \), entonces se cumplen las siguientes propiedades para la multiplicación y la división:

  1. \( \left( \sqrt[n]{a} \right)^{n} = a \)

Ejemplo:

$$ \sqrt[3]{-2} = \sqrt[3]{-2}^{3} =-2 $$

  1. \( \sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \)

Ejemplo:

$$ \sqrt{900} = \sqrt{9 \cdot 100} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{100} = 3 \cdot 10 = 30 $$

  1. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \)

Ejemplo:

$$ \sqrt[4]{\frac{32}{81}} = \frac{\sqrt[4]{32}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{\sqrt[4]{2^{4} \cdot 2}}{\sqrt[4]{3^{4}}} = \frac{\sqrt[4]{2^{4}} \cdot \sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{3^{4}}} = \frac{2\sqrt[4]{2}}{3} $$

Además, para \( p \in \mathbb{N} \), se cumple que:

  1. \( \left( \sqrt[n]{a} \right)^{p} = \sqrt[n]{a^{p}} \)

Ejemplo:

$$ \left( \sqrt[3]{10} \right)^{4} = \sqrt[3]{10^{4}} $$

  1. \( \sqrt[n]{\sqrt[p]{a}} = \sqrt[n \cdot p]{a} \)

Ejemplo:

$$ \sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[3 \cdot 2]{64} = \sqrt[6]{64} = 2 $$

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Diego Gallardo

Profesor de Matemática en enseñanza básica y media, aficionado a la creación de contenidos y fan de pederse en el cerro ⛺.

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