Suma y resta de fracciones

21/12/2021 · Actualizado: 02/01/2024

La suma y resta de fracciones se pueden resolver utilizando diversos métodos y aquí explico los principales con ejemplos paso a paso.

Índice de contenido

Recordando las fracciones

Las fracciones se componen por un numerador y un denominador, el primero indica al número que está sobre la fracción y el segundo al número que se encuentra bajo la fracción.

$$ \frac{1}{2} \frac{\rightarrow numerador}{\rightarrow denominador} $$

Estas representan una parte de un número, por ejemplo \( \frac{3}{4} \) indica que un entero se ha separado en cuatro partes iguales y de ellas se seleccionan tres.

Se clasifican en fracciones propias, impropias y mixtas, pero para calcular adiciones y sustracciones realmente nos interesa su denominador.

Simplificación de fracciones

La simplificación de fracciones se basa en dividir el numerador en el denominador o identificar un número que divida al numerador y denominador de forma exacta hasta que no se exista un número que cumpla esta característica, a lo que se denomina una fracción irreductible, es decir, se aplica el máximo común divisor.

Al momento de resolver una suma y / o resta de fracciones, los resultados no siempre serán fracciones irreductibles, es decir, se deben simplificar hasta obtener una fracción irreductible.

Suma y resta de fracciones con igual denominador

Para resolver adiciones y sustracciones de fracciones con igual denominador se conserva el denominador y se operan los numeradores según corresponda.

Ejemplo 1

$$ \frac{3}{2} + \frac{8}{2} = $$

Explicación: En esta suma de fracciones podemos ver que el denominador de ambas fracciones es "2", por lo que se mantiene el denominador y se suman los numeradores.

$$ \frac{3}{2} + \frac{8}{2} = \frac{3+8}{2} = \boxed{\frac{11}{2}} $$

Por lo tanto el resultado de esta adición es once medios ( \( \frac{11}{2} \) ).

Ejemplo 2

$$ \frac{9}{5} - \frac{17}{5} = $$

Explicación: En esta resta de fracciones se mantiene el denominador, y se restan los numeradores. Además podemos notar que la resta es 9 -17 por lo que se aplican las reglas para la sustracción de números enteros.

$$ \frac{9}{5} - \frac{17}{5} = \frac{9-17}{5} = \frac{-8}{5} = \boxed{- \frac{8}{5}} $$

Debido a que las fracciones representan números mediante divisiones debemos aplicar la regla de los signos entre el numerador y denominador, en este caso tenemos que uno es negativo y otro es positivo, por lo que la fracción final es negativa \( - \frac{8}{5} \).

Ejemplo 3

$$ \frac{2}{7} + \frac{11}{7} - \frac{5}{7} + \frac{8}{7} = $$

Explicación: Independiente de la cantidad de fracciones que existan para la suma o resta el procedimiento es el mismo, mantener el denominador y operar los numeradores.

$$ \frac{2}{7} + \frac{11}{7} - \frac{5}{7} + \frac{8}{7} = \frac{2+11-5+8}{7} = \boxed{\frac{16}{7}} $$

Suma y resta de fracciones con distinto denominador

Para sumar o restar fracciones con distinto denominador puedes calcular fracciones equivalentes para que todos los denominadores sean iguales. Esto se hace amplificando o simplificando cada fracción.

Existen diversos métodos, pero dos son los más utilizados que corresponden a: calcular el mínimo común múltiplo y el método de la «mariposa». Vamos a ver ambos y podrás trabajar con el que te resulte más sencillo.

Método 1: Calcular mínimo común múltiplo

Explicación:

$$ \frac{1}{3} + \frac{5}{18} = $$

Aquí antes de comenzar con la operación tomaremos ambos denominadores y escribiremos sus múltiplos para identificar alguna coincidencia, es decir, calcular el mínimo común múltiplo (M.C.M.), tal como se muestra a continuación:

  • \( M_{3} = \left\{3 , 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36...\right\} \)
  • \( M_{18} = \left\{18 , 36, 54, 72...\right\} \)

Podemos ver que ambos coinciden en los números 18 y 36, pero como buscamos el mínimo seleccionamos el 18, por lo que \( MCM_{3,18} =18 \)

Otra forma de calcular el M.C.M. es mediante un simple algoritmo donde se dividen los denominadores de forma exacta por números primos, por ejemplo, el 3 y 18 son divisibles por el número primero "3", resultando 1 y 6, cuando se obtiene 1 terminas ese número y se divide por el restante, en este caso 6, al dividir 6 en 6 resultará 1 y para calcular el M.C.M. se multiplican los divisores utilizados, en este caso 3 y 6, por lo tanto obtendremos 18 como M.C.M.

Te comparto una imagen del cálculo donde se explica como realizar este procedimiento:

Luego amplificamos las fracciones para que ambas coincidan en el denominador 18. Ente este caso solo se debe amplificar la fracción \( \frac{1}{3}\).

Para identificar por que número amplificar se divide el M.C.M. en el denominador, \( 18 \div 3 =6 \), por lo tanto se debe amplificar por seis.

$$ \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{6} = \frac{6}{18} $$

Ahora reemplazamos en la operación \( \frac{1}{3}\) por \( \frac{6}{18} \) y operar los numeradores ya que los denominadores son iguales.

$$ \frac{1}{3} + \frac{5}{18} = \frac{6}{18} + \frac{5}{18} = \frac{6+5}{18} = \boxed{\frac{11}{18}} $$

De esta forma calculamos la adición y obtenemos como resultado \( \frac{11}{18} \).

Ejemplo 1

$$ \frac{4}{8} + \frac{20}{5} = $$

Paso 1: Calculando mínimo común múltiplo

  • \( M_{8} = \left\{8 , 16, 24, 32, \boxed{40}, 48...\right\} \)
  • \( M_{5} = \left\{5 , 10, 15, 20, 25, 30, 35, \boxed{40}, 45...\right\} \)
Ver la otra forma de calcular el M.C.M.

Paso 2: Amplificar fracciones

  • Fracción 1: \( 40 \div 8 = 5 \rightarrow \frac{4}{8} \cdot \frac{5}{5} = \frac{20}{40} \)
  • Fracción 2: \( 40 \div 5 = 8 \rightarrow \frac{20}{5} \cdot \frac{8}{8} = \frac{160}{40} \)

Paso 3: Reemplazar fracciones amplificadas para operar

$$ \frac{4}{8} + \frac{20}{5} = \frac{20}{40} + \frac{160}{40} = \frac{20 + 160}{40} = \frac{180}{40} $$

Paso 4: Simplificar calculando el máximo común divisor

  • \( D_{180} = \left\{2 , 4, 6, 10, 12, \boxed{20}, 30, 36, 45...\right\} \)
  • \( D_{40} = \left\{2 , 4, 8, 10, \boxed{20}, 40... \right\} \)

$$ \frac{180}{40} \div \frac{20}{20} = \boxed{\frac{9}{2}} $$

Ejemplo 2

$$ \frac{1}{2} - \frac{4}{6} = $$

Paso 1: Calculando mínimo común múltiplo

  • \( M_{2} = \left\{2 , 4, \boxed{6}, 8, 12, 24...\right\} \)
  • \( M_{6} = \left\{\boxed{6}, 12, 18, 24...\right\} \)
Ver la otra forma de calcular el M.C.M.

Paso 2: Amplificar fracciones

  • Fracción 1: \( 6 \div 2 = 3 \rightarrow \frac{4}{8} \cdot \frac{3}{3} = \frac{3}{6} \)
  • Fracción 2: No es necesario amplificar porque su denominador ya es 6.

Paso 3: Reemplazar fracciones amplificadas para operar

$$ \frac{1}{2} - \frac{4}{6} = \frac{3}{6} - \frac{4}{6} = \frac{3-4}{6} = \frac{-1}{6} = \boxed{- \frac{1}{6}} $$

Método 2: "Mariposa"

Sin duda este método es uno de los más utilizados por su sencillez, pero se recomienda para sumas o restas con valores numéricos bajos, y si se trabaja con números altos se recomienda simplificar antes de aplicar el método.

Para aplicar este método se debe mutiplicar de forma cruzada, es decir, numerador por denominador, luego sumar o restar sus resultados (depende de la operación) para obtener el numerador y para el denominador se multiplican ambos denominadores. Vamos a resolver los ejemplos anteriores con este método de la mariposa.

Ejemplo 1

$$ \frac{4}{8} + \frac{20}{5} = $$

Luego se debe simplificar el resultado al igual que en el ejemplo con el método anterior y obtenemos que la respuesta es:

$$ \frac{180}{40} \div \frac{20}{20} = \boxed{\frac{9}{2}} $$

Ejemplo 2

$$ \frac{1}{2} - \frac{4}{6} = $$

En este ejemplo puedes notar que se obtuvo un resultado diferente respecto al método anterior, esto se debe a que la fracción resultante se puede reducir, por lo que se debe simplificar, en este caso, por 2.

$$ - \frac{2}{12} \div \frac{2}{2} = - \frac{1}{6} $$

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Ejercicios: Suma y resta de fracciones

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$$ \frac{3}{2} + \frac{7}{2} = $$

2 / 5

$$ \frac{1}{4} - \frac{2}{3} = $$

3 / 5

$$ \frac{8}{5} + \frac{2}{5} - \frac{3}{5} = $$

4 / 5

$$ \frac{3}{2} + \frac{9}{7} = $$

5 / 5

$$ \frac{1}{4} - \frac{5}{2} + \frac{2}{3} = $$

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Diego Gallardo

Profesor de Matemática en enseñanza básica y media, aficionado a la creación de contenidos y fan de pederse en el cerro ⛺.

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    3 Comentarios

  1. valentina ines dice:

    hola

  2. Yeison David Herrera Acosta dice:

    el link de el programa es bueno para aprender cosas que se nos dificulten matematicas entre otros

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