Suma y resta de raíces

08/04/2022 · Actualizado: 11/05/2024

Aprende a calcular una suma y resta de raíces con ejemplos explicados paso a paso. Además puedes encontrar ppt y ejercicios para estudiar.

Índice de contenido

Recuerdo: Raíces

La raíz se compone por 4 partes:

  • Índice: Para las raíces cuadradas este valor siempre es "2", pero no se escribe ya que corresponde al menor valor que puede adquirir el índice.
  • Radical: Corresponde al símbolo de raíz \( \sqrt{} \)
  • Radicando o cantidad subradical: Es el valor que se ubica dentro del radical.
  • Raíz o valor: Es el resultado o valor numérico que se obtiene al calcular la raíz utilizando potencias o mediante la aproximación.

Con esto ya recuerdas los conceptos claves para continuar con el articulo, pero no te confies, si sientes que necesitas recordar aún más para por la sección de Raíces.

Suma y resta de raíces con mismo índice y radicando

Para sumar o restar estos números se deben cumplir ciertas condiciones específicas, estas condiciones son que, los radicales deben tener el mismo índice y cantidad subradical para aplicar las operaciones.

Por ejemplo al sumar \( \sqrt{3} + \sqrt{3} \) las raíces son iguales, es decir, tienen mismo índice y cantidad subradical, por lo que se pueden sumar obteniendo dos raíz de tres \( 2 \sqrt{3} \).

Ejemplo 1

$$ 5 \sqrt{6} + 2 \sqrt{6} $$

En este caso las raíces son iguales, entonces se suman los factores números que las acompañan manteniendo la raíz cuadrada de seis.

$$ 5 \sqrt{6} + 2 \sqrt{6} = \boxed{7 \sqrt{6}} $$

Ejemplo 2

$$ 13 \sqrt{7} - \sqrt{7} $$

Las raíces son iguales, entonces se restan los coeficientes, pero como el sustraendo no tiene coeficiente significa que es solo una (1) raíz de siete.

$$ 13 \sqrt{7} - (1)\sqrt{7} = \boxed{12 \sqrt{7}} $$

Suma y resta de raíces con igual índice y distinto radicando

Existen casos en que las cantidades subradicales son distintas y no se pueden sumar o restar, pero en otros si se podrán igualar dichas cantidades calculando una descomposición para operarlas.

Considera la suma \( \sqrt{5} + \sqrt{11} \), se puede observar que el índice de ambas raíces es \( 2 \), pero su cantidad subradical es distinta ya que una es cinco y la otra once, estos corresponden a dos números que no se pueden descomponer. En estos casos no podemos sumar y tampoco restar las raíces utilizando el método descrito anteriormente, por lo que solo conseguimos aproximar el resultado utilizando la calculadora (aproximando a dos decimales se obtiene: \( \sqrt{5} + \sqrt{11} \approx 2,23 + 3.31 \approx 5,54 \) ).

Por otra parte existe el método de descomposición de raíces donde mediante un cálculo matemático se pueden igualar los radicandos para sumar o restar. Vamos a ver unos ejemplos:

Ejemplo 1

$$ 6 \sqrt{2} - \sqrt{8} $$

Aquí debemos identificar que la raíz de dos \( \sqrt{2} \) no se puede descomponer, pero si la raíz de ocho \( \sqrt{8} \). Por lo tanto se debe descomponer 8 en función del número 2, es decir, se debe utilizar la multiplicación \( 4 \cdot 2 \).

Descomponiendo la raíz de ocho:

$$ \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2^{2}} \cdot \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} $$

Se reemplazan las cantidades en la operación ya que se igualaron los radicales y restamos.

$$ 6 \sqrt{2} - \sqrt{8} $$

$$ 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} $$

Aquí ya se puede aplicar el primer método descrito al principio de la publicación.

$$ \boxed{4 \sqrt{2}} $$

Ejemplo 2

$$ \sqrt{27} + \sqrt{12} $$

En este caso ambas raíces se pueden descomponer, entonces se debe identificar una 'raíz perfecta' multiplicada por un factor que tengan en común ambas cantidades subradicales.

Para esto se pueden calcular todas las multiplicaciones en que se obtiene como resultado 27 y 12 para comparar.

2712
\( 27 \cdot 1 \)\( 12 \cdot 1 \)
\( \boxed{9 \cdot 3} \)\( 6 \cdot 2 \)
\( \boxed{4 \cdot 3} \)

En la tabla se puede observar que el factor común en ambos productos es 3, además el factor 9 y 4 corresponden a raíces perfectas, por lo tanto esas multiplicaciones se deben utilizar para la descomposición de las raíces.

Descomponiendo ambas raíces

  • \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3^{2}} \cdot \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} \)
  • \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{2^{2}} \cdot \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} \)

Reemplazando las cantidades y operando

$$ \sqrt{27} + \sqrt{12} $$

$$ 3 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} $$

$$ \boxed{5 \sqrt{3}} $$

Ejemplo 3

Este concepto no solo es aplicable a raíces cuadradas (a pesar de ser las más utilizadas), sino que también a las raíces enésimas. Por ejemplo:

$$ \sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{54} $$

Para resolver estos ejercicios se utiliza el mismo método que en el ejemplo anterior. Aunque se debe considerar que el índice en este caso es tres, por lo que la raíz perfecta que se busca es tercera.

1654
\( 16 \cdot 1 \)\( 54 \cdot 1 \)
\( \boxed{8 \cdot 2} \)\( \boxed{27 \cdot 2} \)
\( 4 \cdot 4 \)\( 18 \cdot 3 \)
\( 9 \cdot 6 \)

Descomponiendo las raíces

  • \( \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{2^{3}} \cdot \sqrt[3]{2} = 2 \sqrt[3]{2} \)
  • \( \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{3^{3}} \cdot \sqrt[3]{2} = 3 \sqrt[3]{2} \)

Reemplazando las cantidades y operando

$$ \sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{54} $$

$$ 2 \sqrt[3]{2} +3 \sqrt[3]{2} $$

$$ \boxed{5 \sqrt[3]{2}} $$

Ejercicios sobre adición y sustracción de raíces (practica)

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Ejercicios: Suma y resta de raíces

Ponte a prueba con estos ejercicios sobre Adición y sustracción de raíces

1 / 5

$$ 5\sqrt{10} + 7\sqrt{10} = $$

2 / 5

$$ 23\sqrt{2} - 15\sqrt{2} = $$

3 / 5

$$ \sqrt{11} + 4\sqrt{11} - 2\sqrt{11} = $$

4 / 5

$$ 3\sqrt{3} + \sqrt{75} = $$

5 / 5

$$ \sqrt{45} - \sqrt{20} = $$

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Diego Gallardo

Profesor de Matemática en enseñanza básica y media, aficionado a la creación de contenidos y fan de pederse en el cerro ⛺.

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Su uso principal desde sus inicios fue en la geometría, resolviendo problemas trigonométricos o utilizando el concepto para aplicar el Teorema de Pitágoras, pero posteriormente quedó demostrada su utilidad para trabajar con polinomios, resolver ecuaciones, entre otras aplicaciones, convirtiendose en una herramienta fundamental de la matemática actual la cual se enseña desde enseñanza básica.

La simbología utilizada para representar esta herramienta en las operaciones matemáticas (\sqrt{}) surgio en el 1.525 en el libro Coss preteneciente al Matemático Christoph Rudolff, siendo una representación de la letra "r" de raíz, estilizada para que fuera más elegante.

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