Adéntrate en la Criba de Eratóstenes, una herramienta milenaria para la identificación precisa de números primos. Descubre su funcionamiento y desbloquea su potencial en este artículo detallado.
Historia y origen
La historia y el origen de la Criba de Eratóstenes están envueltos en el fascinante mundo de la antigua Grecia y en la mente brillante de uno de sus matemáticos más distinguidos, Eratóstenes de Cirene.
Eratóstenes, nacido alrededor del año 276 a.C. en la ciudad de Cirene, en lo que hoy es Libia, fue un erudito polifacético que contribuyó significativamente al conocimiento en diversos campos, incluida la matemática, la geografía, la astronomía y la filosofía.
La terminología que creo para la disciplina de la geografía aún se sigue utilizando en la actualidad. Además es reconocido por calcular con mucha precisión por primera vez el diámetro de la tierra y su circunferencia, incluyendo también el cálculo de la inclinación de la tierra. Con sus conocimientos creo el primer mapamundi, incorporando paralelos y meridianos basados en el conocimiento geográfico disponible en su periodo.
La Criba de Eratóstenes, aunque simple en su concepto, fue revolucionaria en su aplicación, de hecho se llama así porque actúa como un tamiz para separar los números primos de los números compuestos. Eratóstenes desarrolló este método como una forma de encontrar todos los números primos hasta un número dado de manera eficiente. Su método no solo era práctico, sino que también proporcionaba una solución sistemática para identificar números primos, que eran fundamentales en numerosas aplicaciones matemáticas y científicas de la época.
La historia cuenta que Eratóstenes ideó su método mientras trabajaba como bibliotecario en la famosa Biblioteca de Alejandría. Se dice que su curiosidad por los números primos lo llevó a encontrar una manera ingeniosa de identificarlos de manera rápida y precisa.
Cómo Funciona la Criba de Eratóstenes
Su funcionamiento es sorprendentemente simple: comienza escribiendo todos los números naturales en una tabla y luego procede a tachar sistemáticamente los múltiplos de cada número.
Por ejemplo, si comenzamos con el número 2, tachamos todos sus múltiplos (4, 6, 8, etc.). Luego, pasamos al siguiente número no tachado, que es el 3, y tachamos todos sus múltiplos. Este proceso continúa sucesivamente hasta que solo quedan los números primos sin tachar.
¿Pero como sabemos cuando parar?. Esto depende de la cantidad de números que agreguemos a la tabla, donde el número primo identificado elevado a dos es mayor que el último número de nuestra tabla.
Por ejemplo si quisiéramos identificar todos los números primos hasta el 100, nos deberíamos detener en el número 11, ya que, \( 11^{2}>100 \), esto quiere decir que todos los números sin tachar o pintar hasta llegar al número 11 son números primos.
Pero ya basta de teoría estamos aquí para ver los números, identifiquemos todos los números primos que existen hasta el número 100 mediante la Criba de Eratóstenes.
Identificando todos los números primos entre 1 y 100
Solo como pequeño recordatorio el número uno no se considera número primo, por lo que se comienza analizando la tabla desde el número dos. Además de recordar que los números primos cumplen con la condición de solo ser divisibles de forma exacta por el uno y por ellos mismos.
Múltiplos de 2
Al comenzar con el número 2 este se deja sin marcar, pero se marcan todos sus múltiplos (para este ejemplo de color celeste tal como se muestra en la imagen).
Múltiplos de 3
El siguiente número en la tabla es el 3, entonces se deja sin marcar, pero si marcamos todos sus múltiplos que aún no estén marcados de color amarillo para este ejemplo.
Múltiplos de 5
Debido a que el número cuatro estaba marcado nos pasamos al número cinco, que dejamos sin marcar, pero si marcamos todos sus múltiplos que aún estén sin marca, en este caso de color verde.
Múltiplos de 7
Como el número 6 esta marcado saltamos al 7 y repetimos el proceso. El siete no se marca y marcamos en este caso todos sus múltiplos de color cafe.
Múltiplos de 11
El siguiente en la tabla sin marcar es el número 11. Da la casualidad de que si observas la imagen anterior todos sus múltiplos ya están marcados, esto quiere decir que todos los números sin marcar corresponden a números primos.
Se termina en once porque \( 11^{2}=121 \) que es mayor al último número de nuestra tabla ‘100’.
Entonces podemos afirmar que los números primos entre 1 y 100 son los siguientes:
$$ \left\{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 \right\} $$
Aplicaciones prácticas de la Criba de Eratóstenes
Las aplicaciones prácticas de la Criba de Eratóstenes son diversas y abarcan varios campos, desde la informática hasta la seguridad en internet. Este método, que parece simple a primera vista, tiene un gran potencial en numerosas áreas:
- Generación de números primos: La Criba de Eratóstenes es una herramienta fundamental en la generación de números primos en informática. Se utiliza en algoritmos para encontrar números primos dentro de un rango específico, lo que es esencial en criptografía y seguridad informática.
- Optimización de algoritmos: En el campo de la informática, se utiliza para optimizar algoritmos relacionados con la búsqueda de números primos. Su eficiencia y simplicidad la convierten en una opción popular para mejorar el rendimiento de diversas operaciones computacionales.
- Criptografía: La seguridad en internet depende en gran medida de la generación y manipulación de números primos. La Criba de Eratóstenes se utiliza en la generación de claves criptográficas y en la creación de sistemas de cifrado seguros, como el algoritmo RSA.
- Matemáticas recreativas: Además de su utilidad en campos técnicos, también se utiliza en actividades de matemáticas recreativas y juegos educativos. Ayuda a los estudiantes a comprender conceptos como los números primos de una manera interactiva y práctica.
Así de útil y sencillo es aplicar este algoritmo matemático de identificación de números primos, y seguirá siéndolo hasta que alguien descubra la forma para realizar este proceso con una simple formula.