Catetos
Quieres aprender que son los catetos en un triángulo rectángulo, su definición geométrica, fórmulas y como calcularlos. ¡Encontraste el articulo perfecto!
Definición
Debido a que estos lados son perpendiculares obtienen su nombre que proviene del latín cathetus, préstamo del griego κάθετος, káthetos ('vertical, perpendicular').
El tercer lado de un triangulo rectángulo se llama hipotenusa, que corresponde al lado de mayor longitud. Los tres lados de este tipo de triángulos fueron nombrados así en el Teorema de Pitágoras.
Tipos de catetos
Si bien en el Teorema de Pitágoras y en el Teorema de Euclides se mencionan a ambos lados como cateto, al estudiar las Razones Trigonométricas a cada cateto se le otorga un nombre dependiendo del ángulo agudo que tengamos como referencia.
En un triángulo rectángulo a parte del ángulo recto, se tienen dos ángulos agudos que se utilizan para calcular las razones de seno, coseno y tangente.
En la imagen se tiene el ángulo \(\alpha \) (alpha) como referencia y se definen los siguientes catetos:
- Cateto opuesto: Corresponde al lado opuesto al ángulo de referencia.
- Cateto adyacente: Es el cateto contiguo al ángulo de referencia.
Si se toma como referencia otro ángulo \(\beta \) (beta) los catetos cambian de posición, tal como se muestra en la siguiente imagen.
Fórmulas para calcular los catetos
Existen diversas formas de calcular un cateto dependiendo de los datos que se obtengan en el problema o ejercicio.
Mediante el Teorema de Pitágoras
El Teorema de Pitágoras define que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Puedes observar que la hipotenusa se representa con la letra 'c' y los catetos con las letras 'a' y 'b'. Por lo que la fórmula es la siguiente:
$$ \boxed{c^{2} = a^{2} + b^{2}} $$
Con esta igualdad, teniendo la medida de la hipotenusa y un cateto se puede calcular el lado faltante reemplazando los valores. Además a partir de esta igualdad, se presenta la fórmula para calcular cualquier cateto.
Esta fórmula esta derivada de la entregada por Pitágoras, ya que solo se despeja completamente el cateto que se desee calcular con el fin de ahorrar cálculos.
$$ a = \sqrt{c^{2} - b^{2}} $$
$$ b = \sqrt{c^{2} - a^{2}} $$
Vamos a ver un ejemplo aplicando ambas fórmulas.
Ejemplo
Calcula la medida del cateto en el siguiente triángulo rectángulo.
Desarrollo: Aplicando el Tereoma de Pitágoras
$$ c^{2} = a^{2} + b^{2} $$
$$ 5^{2} = a^{2} + 3^{2} $$
$$ 25 = a^{2} + 9 $$
$$ 25 = a^{2} + 9 \quad -9 $$
$$ 25 - 9= a^{2} + 9 - 9 $$
$$ 16 = a^{2} \quad \sqrt{} $$
$$ \sqrt{16} = \sqrt{a^{2}} $$
$$ 4 = \left|a \right| $$
$$ 4 cm = a $$
Desarrollo: Aplicando la fórmula derivada
$$ a = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} $$
$$ a = \sqrt{25 - 9} $$
$$ a = \sqrt{16} $$
$$ a = 4 cm $$
Mediante el Teorema de Euclides
El Teorema de Euclides permite calcular cualquier cateto mediante sus proyecciones ortogonales.
Conociendo la medida de la proyección ortogonal con la medida de la hipotenusa se puede calcular el cateto aplicando las siguientes relaciones:
- \( a^{2} = n \cdot c \)
- \( b^{2} = m \cdot c \)
Ejemplo
Calcula la medida los catetos en el siguiente triángulo rectángulo.
$$ a^{2} = n \cdot c $$
$$ a^{2} = 3,2 \cdot 5 $$
$$ a^{2} = 16 $$
$$ a^{2} = 16 \quad \sqrt{}$$
$$ \sqrt{a^{2}} = \sqrt{16} $$
$$ \left|a \right| = 4 $$
$$ a = 4 cm $$
$$ b^{2} = m \cdot c $$
$$ b^{2} = 1,8 \cdot 5 $$
$$ b^{2} = 9 $$
$$ b^{2} = 9 \quad \sqrt{}$$
$$ \sqrt{b^{2}} = \sqrt{9} $$
$$ \left|b \right| = 3 $$
$$ b = 3 cm $$
Utilizando Razones Trigonométricas
Las razones trigonométricas tomando como referencia el ángulo \(\alpha \) se calculan utilizando las siguientes razones entre los lados del triángulo rectángulo:
Seno
$$ sen(\alpha) = \frac{Cateto \ opuesto}{Hipotenusa} $$
Coseno
$$ cos(\alpha) = \frac{Cateto \ adyacente}{Hipotenusa} $$
Tangente
$$ tg(\alpha) = \frac{Cateto \ opuesto}{Cateto \ adyacente} $$
Para calcular un cateto utilizando razones trigonométricas se debe tener la medida de un ángulo y la medida de un lado. Dependiendo de la posición se aplica el seno, coseno o tangente.
Ejemplo
Calcula la medida del cateto 'a' en el siguiente triángulo rectángulo.
Explicación: Toma como referencia el ángulo de 30º, el cateto a calcular corresponde al cateto opuesto, y la medida que se conoce es la hipotenusa. Por lo tanto se aplica la razón trigonométrica seno.
$$ sen(\alpha) = \frac{Cateto \ opuesto}{Hipotenusa} $$
$$ sen(30º) = \frac{a}{5} $$
$$ sen(30º) = \frac{a}{5} \quad \cdot 5 $$
$$ sen(30º) \cdot 5 = \frac{a}{5} \cdot 5 $$
Aquí se puede utilizar la calculadora o la siguiente tabla para calcular el seno de treinta grados.
$$ \frac{1}{2} \cdot 5 = a$$
$$ \frac{5}{2} cm = a $$
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