Concepto de valor absoluto

Conoce el concepto de valor absoluto, su definición, propiedades y aplicaciones explicado de forma sencilla matemáticamente.

Definición

Este concepto se representa utilizando dos barras verticales alrededor del número:

$$ \left | x \right | $$

Donde \( x \) es cualquier número real.

Matemáticamente, la definición de valor absoluto es:

$$ \left| x \right| = \begin{Bmatrix}
x \quad si \quad x \geq 0 & \\
-x \quad si \quad x < 0 & \\
\end{Bmatrix} $$

Esto significa que:

• Si el número ya es positivo o cero, su valor absoluto es el mismo número.
• Si el número es negativo, su valor absoluto es su opuesto.

Es decir, en sencillas palabras el resultado de un valor absoluto siempre es positivo ya que estamos calculando una distancia. Por ejemplo:

• ¿Cuál es el valor absoluto de cero? \( | 0 | = 0 \)
• ¿Cuál es el valor absoluto de 10? \( | 10 | = 10 \)
• ¿Cuál es el valor absoluto de menos 2? \( | -2 | = 2 \)

Propiedades

1. No negatividad: El resultado de los valores absolutos siempre es positivo.
   $$ | a | \geq 0 $$
2. Simetría: Los números opuestos tienen igual valor absoluto.
   $$ | a | = | -a | $$
3. Módulo de cero: El valor absoluto de cero es igual a cero
   $$ | 0 | = 0 $$
4. Propiedad multiplicativa: El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.
   $$ | ab | = | a | \cdot | b | $$
   $$ | \frac{a}{b} | =\frac{| a |}{| b |} \space con \space b \neq 0 $$
5. Desigualdad triangular: El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.
   $$ | a+b | \leq | a | + | b | $$

Aplicaciones

El concepto de valor absoluto aparece en diversas áreas de las matemáticas y ciencias aplicadas:

• Ecuaciones y desigualdades: Resolver ecuaciones como \( ∣x−3∣=5 \) implica entender el valor absoluto.
• Distancia entre puntos: En geometría, se utiliza para calcular distancias entre dos puntos en la recta real.
• Funciones: La función valor absoluto, \( f(x)=∣x∣ \), es una de las primeras funciones que se estudian en álgebra.
• Programación y física: Se utiliza para modelar magnitudes que no pueden ser negativas, como la velocidad o la energía.

Preguntas frecuentes