¿Qué es la HIPOTENUSA?

08/12/2022 · Actualizado: 03/01/2023

La hipotenusa es el lado de mayor longitud en un triángulo rectángulo, se identifica fácilmente por que se encuentra opuesto al ángulo recto (90º).

Hipotenusa en un triángulo rectángulo
Hipotenusa en un triángulo rectángulo

Etimológicamente el término procede del latín 'hypotenūsa' y a su vez del griego 'υποτεινουσα' (hypoteinousa), un compuesto de hipó ‘debajo’ y téino ‘estirar’. Es una terminación en femenino del participio activo de 'υποτεινειν' hypoteinein que quiere decir fuertemente tensada.

El Teorema de Pitágoras determina que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos.

Cabe destacar que el Teorema de pitagora se representa con las letras a, b y c para los lados, esto con el fin de no confundirse con otras abreviaciones, como la letra h que representa la altura.

Por lo tanto la hipotenusa se calcula de la forma:

$$ \boxed{c^{2} = a^{2} + b^{2}} $$

Índice de contenido

Fórmula de la hipotenusa

Si bien la fórmula para calcular esta longitud es la expresada anteriormente. También se suele entregar la misma, pero con la incógnita 'h' despejada.

$$ c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} $$

De esta forma se identifican los valores correspondientes y se reemplazan para aplicar la fórmula.

Cabe destacar que se suele enseñar solo para agilizar el cálculo, y su uso no es recomendado para el aprendizaje significativo del Teorema de Pitágoras y la matemática, ya que es una buena instancia para reforzar la resolución de ecuaciones de primer grado.

¿Cómo calcular la hipotenusa?

Para realizar el cálculo se puede aplicar cualquiera de las dos fórmulas antes descritas. Los pasos son los siguientes:

  1. Identificar los datos: En este caso los valores de los catetos.
  2. Reemplazar en la fórmula donde la incógnita corresponde a 'h'.
  3. Calcular los cuadrados de los catetos.
  4. Sumar los resultados de la suma de los catetos.
  5. Calcular la raíz cuadrada

De esta forma se puede sacar o hallar el valor de la hipotenusa. Vamos a ver un ejemplo utilizando ambas fórmulas.

Ejemplo

Calcular 'h' en el siguiente triangulo rectángulo.

calcular la hipotenusa en triángulo rectángulo

Datos:

  • Cateto 1: 3 cm
  • Cateto 2: 4 cm

Aplicando el Teorema de Pitágoras

$$ c^{2} = a^{2} + b^{2} $$

$$ h^{2} = 3^{2} + 4^{2} $$

$$ h^{2} = 9 + 16 $$

$$ h^{2} = 25 \quad / \sqrt{} $$

$$ \sqrt{h^{2}} = \sqrt{25} $$

$$ \left| h \right| = 5 $$

$$ \boxed{h = 5 cm} $$

Aplicando la fórmula despejada

$$ c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} $$

$$ h = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} $$

$$ h = \sqrt{9 + 16} $$

$$ h = \sqrt{25} $$

$$ \boxed{h = 5 cm} $$

Nota: Puedes observar que con la fórmula despejada efectivamente se ahorran pasos, pero si comprendes bien los conceptos de las ecuaciones puedes saltarte algunos pasos.

Estas no son las únicas formas de calcular la hipotenusa. Si se traza una altura desde el punto C hasta la longitud \( \overline{BA} \) creando un punto H en el triángulo, se obtienen las longitudes ortogonales de los lados \( \overline{CB} \) y \( \overline{CA} \), los que se expresan como 'm' y 'n'.

La proyección ortogonal de b es m y la de a es n.

Esta es la representación mostrada en el Teorema de Euclides y de acuerdo a esto podemos calcular la hipotenusa sumando \( m + n \). También podríamos calcularla a través de las siguientes relaciones.

  • \( h^{2} = m \cdot n \)
  • \( a^{2} = n \cdot c \)
  • \( b^{2} = m \cdot c \)

¿Cómo calcular la hipotenusa conociendo un solo cateto?

En estos casos a parte del cateto se necesita conocer un ángulo a parte del ángulo recto, así se pueden aplicar las razones trigonométricas de seno, coseno y tangente en un triángulo rectángulo.

La diferencia con los métodos anteriores es que dependiendo de la posición tendremos el 'cateto opuesto', este se ubica opuesto al ángulo alpha, y el 'cateto adyacente' que se encuentra al lado del ángulo alpha.

Las fórmulas para calcular las razones trigonométricas son las siguientes:

Seno

$$ sen(\alpha) = \frac{Cateto \ opuesto}{Hipotenusa} $$

Coseno

$$ cos(\alpha) = \frac{Cateto \ adyacente}{Hipotenusa} $$

Tangente

$$ tg(\alpha) = \frac{Cateto \ opuesto}{Cateto \ adyacente} $$

Vamos a ver unos ejemplo:

Ejemplo 1

Datos:

  • Ángulo: 30º
  • Cateto opuesto: 5 cm

Desarrollo y respuesta:

$$ sen(30º) = \frac{5}{h} $$

$$ \frac{1}{2} = \frac{5}{h} $$

$$ h = \frac{5}{\frac{1}{2}} $$

$$ h = 10 cm $$

Ejemplo 2

Datos:

  • Ángulo: 30º
  • Cateto adyacente: \( \sqrt{3} \) cm

Desarrollo y respuesta:

$$ cos(30º) = \frac{\sqrt{3}}{h} $$

$$ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{h} $$

$$ h = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} $$

$$ h = 2 cm $$

Preguntas frecuentes

¿Cómo identificar la hipotenusa?

Es el lado de mayor longitud en un triángulo rectángulo, se identifica fácilmente por que se encuentra opuesto al ángulo recto (90º)

¿Cuál es la hipotenusa de un cuadrado?

Un cuadrado como tal no tiene un hipotenusa, pero al trazar la diagonal el cuadrado se separa en dos triángulos rectángulos cuya hipotenusa es la diagonal.

¿Qué es la hipotenusa en una persona?

Este dicho proviene de la etimología de hipotenusa que es una terminación en femenino del participio activo de 'υποτεινειν' hypoteinein que quiere decir fuertemente tensada.

¿Qué significa el meme 'en fin, la hipotenusa'?

Proviene de la frase 'en fin, la hipocresía'. Esta se cambia en un contexto matemático, por ejemplo, quieren pasar geometría, pero sin estudiar... en fin, la hipotenusa.

¿Cuánto mide la hipotenusa?

Esto depende del triángulo, por lo que se debe calcular utilizando el Teorema de Pitágoras. Si los catetos coinciden con alguna terna pitagórica es más sencillo identificar la hipotenusa.

Diego Gallardo

Profesor de Matemática en enseñanza básica y media, aficionado a la creación de contenidos y fan de pederse en el cerro ⛺.

También te puede interesar

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.

Subir