Números enteros (Z)
Descubre qué son los números enteros, cuáles son, ejemplos, clasificación, representación en la recta numérica y más.
Definición
$$ \mathbb{Z} = \left\{ - \infty, , -3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, , \infty + \right\} $$
También se pueden definir como los números que no tienen parte decimal, y que pueden ser positivos, negativos o el cero.
El conjunto de los números enteros 'Z' contiene a los números naturales, esto quiere decir que todo número natural también es un entero. Este concepto se puede representar mediante un diagrama como el que se muestra a continuación:
10 ejemplos de números enteros positivos y negativos
- Noventa y dos negativo: \( -92 \)
- Cincuenta negativo: \( -50 \)
- Doce negativo: \( -12 \)
- Cuatro negativo: \( -4 \)
- Siete: \( 7 \)
- Diez: \( 10 \)
- Quince: \( 15 \)
- Veintiséis: \( 26 \)
- Setenta y cinco: \( 75 \)
Clasificación y representación de números enteros en la recta numérica
Los números enteros se clasifican en:
- \( \mathbb{Z}^{-} \) (enteros negativos) que corresponden a los enteros negativos.
- \(0\) que es denominado como origen, y es el punto medio entre los números negativos y positivos.
- \( \mathbb{Z}^{+} \) (enteros positivos) que corresponden a los enteros positivos.
Al igual que con los números naturales, un entero se puede representar o ubicar en una recta numérica a través de un punto en la posición del valor correspondiente, por ejemplo, si queremos representar el número -3, en la recta numérica marcamos el tres negativo con un punto.
Propiedades de los números enteros
Clausura o interna
$$ \forall \ a, b \in \mathbb{Z} \rightarrow a\pm b=k, k \in \mathbb{Z} $$
$$ \forall a, b \in \mathbb{Z} \rightarrow a\cdot b=k, k \in \mathbb{Z} $$
Asociativa
$$ \left (a+b \right )+c=a+ \left (b+c \right ) $$
$$ \left (a \cdot b \right ) \cdot c=a \cdot \left (b \cdot c \right ) $$
Conmutativa
$$ a+b=b+a $$
$$ a \cdot b=b \cdot a $$
Elemento neutro
$$ a \pm 0 = a $$
$$ a \cdot 1=a $$
Elemento opuesto
$$ a+ \left ( -a \right ) =0 $$
Distributiva
$$ a \cdot \left (b+c \right ) = a \cdot b + a \cdot c $$
Son infinitos
Se cuentan desde el \( - \infty \) hasta cantidades inimaginables al conocimiento humano (\( + \infty\)). Ejemplo de ello tenemos que conocemos números para expresar cantidades, años, periodos; 1, 2, 100, 1986, 10000. Así como números que van más allá de nuestra comprensión, como los años luz o millones de células en nuestro cuerpo, sin embargo, encuentran cifras aproximadas en números enteros.
Se expresan en unidades completas
Esto quiere decir que no presentan decimales, sobrantes o porciones en la unidad. 20 no es igual a 20.01 o 20.99. Son números completos, sin comas, puntos o fracciones.
Origen e historia
Desde los inicios de la humanidad, el ser humano ha buscado representar y entender su entorno mediante símbolos y cantidades. Así surgió la noción de número como una forma de sistematizar la contabilidad de objetos, inicialmente con marcas, piedras o nudos. Cada cultura desarrolló su propio sistema numérico: los egipcios usaban jeroglíficos, los griegos el alfabeto, los mayas y chinos ideogramas, y los romanos letras. La notación que usamos actualmente proviene del sistema indo-arábigo, difundido en Europa por los árabes en el siglo X.
Con el tiempo, surgieron los números naturales, esenciales para contar y ordenar. Estos fueron formalizados en el conjunto N, que incluye al cero gracias a los aportes de Giuseppe Peano, aunque algunas teorías no lo consideran parte del conjunto natural. Civilizaciones como la pitagórica también reflexionaron profundamente sobre la naturaleza de los números, clasificándolos en pares, impares, perfectos y amigos.
La necesidad de resolver operaciones como la resta llevó al desarrollo de los números negativos, conocidos antiguamente como “deudos” o “absurdos”. Surgieron en Oriente en el siglo V y no fueron aceptados en Occidente hasta el siglo XVIII. Los indios fueron los primeros en establecer reglas para operar con positivos y negativos, con aportes destacados de Brahmagupta, quien también sistematizó el uso del cero.
Matemáticos como Stifel, Cardano, Wallis y Euler contribuyeron a su aceptación. Fue Euler quien finalmente les dio validez matemática, defendiendo que el producto de dos negativos es positivo.
Finalmente, el conjunto de los números enteros, denotado por Z, se compone de los números naturales, el cero (neutro) y sus opuestos negativos. Los números enteros permiten realizar operaciones básicas como la resta y división con mayor generalidad.
¿Para qué sirven los números enteros?
Los números enteros se utilizan en numerosas situaciones cotidianas y científicas. Algunos ejemplos:
- En contabilidad: para representar ingresos (+) y egresos (−).
- En videojuegos: para indicar puntuaciones ganadas o perdidas.
- En meteorología: para expresar temperaturas por encima y por debajo de 0 °C.
- En historia: para datar eventos antes y después de Cristo.
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