Ecuación cuadrática

06/10/2022 · Actualizado: 06/10/2022

Aprende a identificar una ecuación cuadrática, sus componentes y evaluar posibles raíces solución de la igualdad.

Índice de contenido

Definición

Una ecuación cuadrática o de segundo grado tiene la forma:

ax^{2} + bx + c = 0 con a, b, c \in \mathbb{R} y a \neq 0

Donde a,b y c son denominados coeficientes de la ecuación. Estas ecuaciones tienen dos soluciones o también llamadas raíces, que se denotan como x_{1} y x_{2}, las que se clasifican en:

No pertenece a los realesRaíces reales igualesRaíces reales distintas
x_{1}, x_{2} \notin \mathbb{R}x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R} y x_{1} = x_{2}x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R} y x_{1} \neq x_{2}

Esto quiere decir que una ecuación de segundo grado puede no tener solución, tener una solución o dos soluciones.

Los coeficientes b y c pueden ser cero, si esto ocurre tenemos una ecuación cuadrática incompleta, estas pueden ser de la forma ax^{2} + bx = 0 o ax^{2} + c = 0, mientras que una ecuación completa es de la forma ax^{2} + bx + c = 0.

Las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado tienen ese nombre debido al mayor exponente que adquiere la incógnita, en este caso dos, por esto el coeficiente a nunca puede de ser cero, ya que la ecuación dejaría de ser cuadrática al multiplicar 0x^{2} = 0.

¿Cómo identificar una ecuación cuadrática?

Las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado tienen ese nombre debido al mayor exponente que adquiere la incógnita, en este caso dos, por esto el coeficiente a nunca puede de ser cero, ya que la ecuación dejaría de ser cuadrática al multiplicar 0x^{2} = 0.

Ejemplos

x + 3 = 2No es cuadrática. Es una ecuación lineal ya que su mayor exponente es 1.
2x^{2} + 6x - 9 = 0Es una ecuación cuadrática completa
x^{2} + 10x = 0Es una ecuación cuadrática incompleta
5x^{2} + 50 = 0Es una ecuación cuadrática incompleta
x^{3} + 12x + 3 = 0No es cuadrática. Corresponde a una ecuación cúbica.
(x + 2)(x - 5)=0Es cuadrática. Ya que al resolver el producto de binomios con término común se obtiene una ecuación completa.

¿Cómo identificar los coeficientes a,b y c en ecuaciones cuadráticas?

Los coeficientes a y b son los números reales que acompañan a la incógnita, a acompaña a x^{2} y b acompaña a x, mientra que el coeficiente c corresponde al número real que no acompaña a ninguna incógnita. Esto siempre y cuando la ecuación este igualada a cero.

Si x^{2} y/o x no los acompaña ningun número a su izquierda, esto quiere decir que a y/o 4latex b$ son iguales a 1. Por otra parte si bx y/o c no están en la ecuación, entonces b y/o c son cero.

Ejemplos

3x^{2} + 2x + 7 = 0a = 3 ; b = 2 y c = 7
x^{2} - 15x + 8 = 0a = 1 ; b = -15 y c = 8
-5x^{2} + 6 = 0a = -5 ; b = 0 y c = 6
2x^{2} + x = 0a = 2 ; b = 1 y c = 0
-x^{2} = 0a = -1 ; b = 0 y c = 0

En el caso que se presente una ecuación sin ordenar, es decir, que no sea igual a cero, se deben transponer los términos hasta igualarla a cero para identificar los coeficientes, por ejemplo:

\frac{x + 1}{2} = x^{2}

Transponiendo para escribir la ecuación de la forma ax^{2} + bx + c = 0.

x + 1 = 2x^{2}

-2x^{2} + x + 1 = 0

a = -2 ; b = 1 y c = 1

Evaluar raíces de una ecuación cuadrática

Evaluar es lo mismo que comprobar la solución de una ecuación, para que una raíz o solución sea correcta el primer miembro debe ser igual al segundo miembro de la ecuación.

Por lo tanto se debe reemplazar el valor dado por la incógnita.

Ejemplo 1

Evaluar x_{1} = 3 y x_{2} = -2 en x^{2} - x - 6 = 0

Desarrollo:

con x_{1} = 3

(3)^{2} - (3) - 6 = 0

9 - 3 - 6 = 0

6 - 6 = 0

0 = 0

con x_{2} = -2

(-2)^{2} - (-2) - 6 = 0

4 + 2 - 6 = 0

6 - 6 = 0

0 = 0

Respuesta:

En ambas se cumple la igualdad, por lo tanto x_{1} = 3 y x_{2} = -2 son raíces de la ecuación.

Ejemplo 2

Evaluar x_{1} = -1 y x_{2} = 1 en x^{2} - 2x + 1 = 0

Desarrollo:

con x_{1} = -1

(-1)^{2} - 2 \cdot (-1) + 1 = 0

1 - (-2) + 1 = 0

1 + 2 + 1 = 0

4 = 0

con x_{2} = 1

1^{2} - 2 \cdot 1 + 1 = 0

1 - 2 + 1 = 0

-1 + 1 = 0

0 = 0

Respuesta:

Solo x_{2} = 1 es raíz de la ecuación.

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Diego Gallardo

Profesor de Matemática en enseñanza básica y media, aficionado a la creación de contenidos y fan de pederse en el cerro ⛺.

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