Ecuaciones con valor absoluto

04/10/2022 · Actualizado: 05/10/2022

Aprende cómo resolver ecuaciones con valor absoluto aplicando la definición con ejemplos resueltos paso a paso de cada caso posible.

El valor absoluto o modulo de un número $|a|$ es el valor que representa la distancia entre este y el cero, por ejemplo, $|6| = 6$ o $|-6| = 6$ , por lo que el valor absoluto de una cifra siempre es positivo.

De acuerdo a esta definición se resuelven ecuaciones donde la incógnita esta dentro de un valor absoluto.

Índice de contenido

Cómo resolver ecuaciones con valor absoluto simples
Ecuaciones con valor absoluto iguales a una expresión que contiene la incógnita
- Ejemplo 1
- Ejemplo 2
Recursos
- Presentaciones
- Guías de aprendizaje

Cómo resolver ecuaciones con valor absoluto simples

Si se necesita resolver la ecuación $|x| = 3$ y aplicamos la definición de valor absoluto, podemos deducir que la ecuación tiene dos posibles soluciones, $x = 3 \wedge x = -3$ , ya que $|3| = 3$ y $|-3| = 3$ .

Por lo tanto para resolver ecuaciones con valor absoluto, la ecuación se iguala a un número y se resuelven dos ecuaciones, una con el número positivo y otra con el número negativo. De acuerdo a la siguiente definición:

Vamos a ver unos ejemplos.

Ejemplo 1

$| x - 3 | = 7$

Explicación: De acuerdo a la definición la ecuación dentro del valor absoluto puede ser igual a 7 positivo o negativo, por lo que se resuelven ambas ecuaciones para encontrar el conjunto solución.

Desarrollo:

$x - 3 = 7$

$x = 7 + 3$

$\boxed{x = 10}$

$x - 3 = -7$

$x = -7 + 3$

$\boxed{x = -4}$

Ahora comprobamos las soluciones para confirmar que se cumple la igualdad.

Comprobación:

$| x - 3 | = 7$ con $x = 10$

$| 10 - 3 | = 7$

$| 7 | = 7$

$7 = 7$ ✅

$| x - 3 | = 7$ con $x = -4$

$| -4 - 3 | = 7$

$| -7 | = 7$

$7 = 7$ ✅

La soluciones satisfacen la igualdad por lo que la respuesta se escribe como un conjunto.

Respuesta:

$\boxed{x = \left \{ -7 ; 10 \right \}}$

Ejemplo 2

$| 3x +27 | - 39 = 0$

Explicación: En este caso antes de comenzar al resolver se debe transponer el 39, esta restando por lo que pasa sumando al cero, quedando la ecuación con valor absoluto igual a 39 positivo. Y desde ahí se resuelve igual que el ejemplo 1.

Desarrollo:

$| 3x +27 | - 39 = 0$

$| 3x +27 | = 39$

$3x + 27 = 39$

$3x = 39 - 27$

$3x = 12$

$x = \frac{12}{3}$

$\boxed{x = 4}$

$3x + 27 = -39$

$3x = -39 - 27$

$3x = -66$

$x = \frac{-66}{3}$

$\boxed{x = -22}$

Comprobación:

$| 3x +27 | - 39 = 0$ con $x = 4$

$| 3 \cdot 4 +27 | - 39 = 0$

$| 12 +27 | - 39 = 0$

$| 39 | - 39 = 0$

$39 - 39 = 0$

$0 = 0$ ✅

$| 3x +27 | - 39 = 0$ con $x = -22$

$| 3 \cdot -22 +27 | - 39 = 0$

$| -66 +27 | - 39 = 0$

$| -39 | - 39 = 0$

$39 - 39 = 0$

$0 = 0$ ✅

Respuesta:

$\boxed{x = \left \{ -22 ; 4 \right \}}$

Ejemplo 3

$| 7x - 10 | + 9 = 0$

Explicación: Este ejercicio se resuelve igual que el anterior, aunque se puede observar que al transponer el número 9 la ecuación con valor absoluto queda igual a un número negativo, tal como se muestra a continuación.

$| 7x - 10 | = 0 - 9$

$| 7x - 10 | = -9$

El resultado de un valor absoluto siempre es positivo, y en este caso es igual a un número negativo, por lo que no cumple con la definición (contradicción), esto significa que la ecuación no tiene solución, o su solución es un conjunto vacío.

Respuesta:

$\boxed{x = \left \{ \varnothing \right \}}$

Ecuaciones con valor absoluto iguales a una expresión que contiene la incógnita

Este tipo de casos se caracterizan por tener una ecuación con valor absoluto en un miembro de la igualdad y otra ecuación en el segundo miembro, por ejemplo, $| 7x + 3 | = 3 - x$ .

Para resolver este tipo de ecuaciones con valor absoluto se utiliza el mismo procedimiento anterior, solo que la ecuación sin valor absoluto siempre debe ser mayor o igual a cero, esto significa que se debe identificar un intervalo de números que satisfacen la igualdad y se debe comprobar que los resultados obtenidos pertenecen a dicho intervalo para ser considerados como solución, y no obtener una contradicción.

Por lo tanto se aplica la siguiente propiedad:

$|a| = b \ \leftrightarrow \ |a| = +b \ \vee \ |a| = -b \ \wedge \ b \geq 0$

Ejemplo 1

$| 7x + 3 | = 3 - x$

Explicación: Al igual que con los ejemplos anteriores la ecuación dentro del valor absoluto se iguala al segundo miembro positivo y negativo, en este caso al ser una expresión algebraica el segundo miembro cambia sus signos cuando toma un valor negativo.

Desarrollo:

$7x + 3 = 3 - x$

$7x + x = 3 - 3$

$8x = 0$

$x = \frac{0}{8}$

$\boxed{x = 0}$

$7x + 3 = -(3 - x)$

$7x + 3 = -3 + x$

$7x - x = -3 - 3$

$6x = -6$

$x = \frac{-6}{6}$

$\boxed{x = -1}$

Ahora determinamos el intervalo que satisface la ecuación resolviendo la inecuación donde el miembro sin valor absoluto debe ser mayor o igual a cero:

$3 - x \geq 0$

$- x \geq 0 - 3$

$- x \geq - 3 \quad / \cdot -1$

$x \leq 3$

Intervalo solución: $(- \infty , 3]$

Esto quiere decir que los valores de x deben ser menores o iguales a tres para que satisfaga la igualdad. Como las soluciones encontradas son $x = 0 \wedge x = -1$ cumplen la condición de ser menores a 3, por lo tanto comprobamos.

Comprobación:

$| 7x + 3 | = 3 - x$ con $x = 0$

$| 7 \cdot 0 + 3 | = 3 - 0$

$| 0 + 3 | = 3$

$| 3 | = 3$

$3 = 3$ ✅

$| 7x + 3 | = 3 - x$ con $x = -1$

$| 7 \cdot (-1) + 3 | = 3 - (-1)$

$| -7 + 3 | = 3 + 1$

$| -4 | = 4$

$4 = 4$ ✅

Respuesta:

$\boxed{x = \left \{ -1 ; 0 \right \}}$

Ejemplo 2

$| 9x + 4 | = 8x + 3$

Explicación: Resolvemos igual que el anterior.

Desarrollo:

$9x + 4 = 8x + 3$

$9x - 8x = 3 - 4$

$\boxed{x = -1}$

$9x + 4 = -(8x + 3)$

$9x + 4 = -8x - 3$

$9x + 8x = - 3 - 4$

$17x = -7$

$\boxed{x = \frac{-7}{17}}$

Ahora determinamos el intervalo que satisface la ecuación resolviendo la inecuación donde el miembro sin valor absoluto debe ser mayor o igual a cero:

$8x + 3 \geq 0$

$8x \geq -3$

$x \geq \frac{-3}{8}$

Intervalo solución: $[-\frac{3}{8} , \infty )$

Como las soluciones $x = -1 \wedge x = - \frac{7}{17}$ son menores a $-\frac{3}{8}$ obtenemos una contradicción, por lo tanto la ecuación no tiene solución.