Ecuaciones fraccionarias

26/09/2022 · Actualizado: 28/09/2022

Aprende a calcular ecuaciones fraccionarias de primer y segundo grado usando el método del mínimo común múltiplo o M.C.M.

Las ecuaciones fraccionarias de primer y segundo grado son aquellas que presentan la incógnita en el denominador, y para resolverlas se utiliza el mínimo común múltiplo o MCM de las expresiones que son denominadores.

Cuando se obtiene la solución se debe prestar atención a que no indertemine la expresión, ya que como la incógnita se ubica en el denominador de una fracción, esta no puede ser cero.

El método para resolver ecuaciones consiste en aplicar operaciones para despejar la incógnita, pero para este tipo de ejercicios primero se calcula el M.C.M. entre los denominadores, para luego amplificar la ecuación y trabajar con números enteros. Este método se puede simplificar, por lo que se presentan ambos en la resolución de los ejemplos.

Índice de contenido

Ejemplo 1

Calcular \frac{1}{x} + \frac{4}{x} = 10

Desarrollo:

  1. Calcular el M.C.M. entre los denominadores.

En este caso como los denominadores son iguales el MCM = x.

  1. Multiplicar la ecuación por el M.C.M y resolver.

\frac{1}{x} + \frac{4}{x} = 10 \quad / \cdot x

\frac{1}{x} \cdot x + \frac{4}{x} \cdot x = 10 \cdot x

\frac{1}{\not{x}} \cdot \not{x} + \frac{4}{\not{x}} \cdot \not{x} = 10 \cdot x

1 + 4 = 10 \cdot x

5 = 10 \cdot x \quad / \cdot \frac{1}{10}

\frac{5}{10} =  \frac{10 \cdot x}{10}

\frac{5 \div 5}{10 \div 5} =  \frac{\not{10} \cdot x}{\not{10}}

\frac{1}{2} = x

Respuesta:

\boxed{\frac{1}{2} = x}

Al reemplazar la fracción \frac{1}{2} la ecuación no se indetermina, por lo que la ecuación fraccionaria tiene solución.

Método simplificado:

\frac{1}{x} + \frac{4}{x} = 10

\frac{5}{x} = 10 \quad / \cdot x

\frac{5}{x} \cdot x = 10 \cdot x \quad / \text{se simplifican las x}

5 = 10x

\frac{5}{10} = x \quad / \text{simplificando por 5}

\boxed{\frac{1}{2} = x}

Ejemplo 2

Calcular \frac{1}{x} + \frac{3}{2x} = \frac{1}{3x} + \frac{13}{12}

  1. Calcular el M.C.M. entre los denominadores.
  • M_{x} = \left \{ x, 2x, 3x, 4x, 5x, 6x, 7x, 8x, 9x, 10x, 11x, \boxed{12x}, 13x \right \}
  • M_{2x} = \left \{ 2x, 4x, 6x, 8x, 10x, \boxed{12x}, 14x, 16x, 18x \right \}
  • M_{3x} = \left \{ 3x, 6x, 9x, \boxed{12x}, 15x, 18x, 21x \right \}
  • M_{12} = \left \{ \boxed{12}, 24, 36, 48, 60 \right \}

MCM_{x, 2x, 3x, 12} = 12x

  1. Multiplicar la ecuación por el M.C.M y resolver.

\frac{1}{x} + \frac{3}{2x} = \frac{1}{3x} + \frac{13}{12} \quad / \cdot 12x

\frac{1}{x} \cdot 12x + \frac{3}{2x} \cdot 12x = \frac{1}{3x} \cdot 12x + \frac{13}{12} \cdot 12x

\frac{1}{\not{x}} \cdot 12\not{x} + \frac{3}{2\not{x}} \cdot 12\not{x} = \frac{1}{3\not{x}} \cdot 12\not{x} + \frac{13}{\not{12}} \cdot \not{12}x

1 \cdot 12 + \frac{3}{2} \cdot 12 = \frac{1}{3} \cdot 12 + 13 \cdot x

12 + 18 = 4 + 13x \quad / + (-4)

12 + 18 + (-4) = 4 + (-4) + 13x

26 = 13x \quad / \cdot \frac{1}{13}

26 \cdot \frac{1}{13} = 13x \cdot \frac{1}{13}

\frac{26}{13} = \frac{13x}{13}

2 = x

Respuesta:

\boxed{x = 2}

Si reemplazamos 2 la ecuación no se indetermina por lo que tiene solución.

Método simplificado:

\frac{1}{x} + \frac{3}{2x} = \frac{1}{3x} + \frac{13}{12}

\frac{1}{x} + \frac{3}{2x} = \frac{1}{3x} + \frac{13}{12} \quad / \cdot 12x

\frac{1}{x} \cdot 12x + \frac{3}{2x} \cdot 12x = \frac{1}{3x} \cdot 12x + \frac{13}{12} \cdot 12x \quad / \text{simplificamos y multiplicamos}

12 + 18 = 4 + 13x

30 - 4 = 13x

\frac{26}{13} = x

\boxed{2 = x}

Ejemplo 3

Calcular \frac{1}{2x + 5} = 4

Antes de resolver este tipo de ecuaciones fraccionarias de primer grado, se iguala la ecuación lineal del denominador a cero para identificar el número que indetermina la igualdad. Esto con el fin de que si al resolver obtenemos ese número la ecuación no tendrá solución.

  1. Igualar a cero la ecuación del denominador y resolverla.

2x + 5 = 0 \quad / + (-5)

2x + 5 + (-5)= 0 + (-5)

2x = -5 \quad / \cdot \frac{1}{2}

2x \cdot \frac{1}{2} = -5 \cdot \frac{1}{2}

\frac{2x}{2} = \frac{-5}{2}

x = - \frac{5}{2}

Por lo tanto si obtenemos - \frac{5}{2} como respuesta, la ecuación no tiene solución.

  1. Calcular el M.C.M. entre los denominadores.

Al tener solo un denominador, amplificamos por el mismo 2x +5

  1. Multiplicar la ecuación por el M.C.M y resolver.

\frac{1}{2x + 5} = 4 \quad / \cdot 2x + 5

\frac{1}{2x + 5} \cdot 2x + 5 = 4 \cdot (2x + 5)

1 = 8x + 20 \quad / + (-20)

1 + (-20) = 8x + 20 + (-20)

-19 = 8x \quad / \cdot \frac{1}{8}

\frac{-19}{8} = \frac{8x}{8}

\frac{-19}{8} = x

Respuesta:

\boxed{x = \frac{-19}{8}}

Ya que la respuesta es distinta al número - \frac{5}{2} la ecuación tiene solución.

Método simplificado:

\frac{1}{2x + 5} = 4

1 = 4(2x + 5)

1 = 8x + 20

1 - 20 = 8x

-19 = 8x

\boxed{\frac{-19}{8} = x}

Ejemplo 4

Calcular \frac{x}{x-3} + \frac{4}{x + 5} = \frac{x^{2} + 8x - 9}{x^{2} + 2x - 15}

En este caso primero factorizamos la expresión cuadrática para identificar los valores que no puede tomar la incógnita.

x^{2} + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)

\frac{x}{(x-3)} + \frac{4}{(x + 5)} = \frac{x^{2} + 8x - 9}{(x + 5)(x - 3)}

  1. Igualar a cero las ecuaciones del denominador y resolverlas.

Para este ejercicio tenemos dos ecuaciones solamente, ya que al factorizar se repitieron.

x - 3 = 0

x = 3

x + 5 = 0

x = -5

Por lo tanto la ecuación no puede tomar los valores -5 y 3.

  1. Calcular el M.C.M. entre los denominadores.

Como los denominadores son los mismo tomamos ambos (x + 5)(x - 3)

  1. Multiplicar la ecuación por el M.C.M y resolver.

\frac{x}{x-3} + \frac{4}{x + 5} = \frac{x^{2} + 8x - 9}{x^{2} + 2x - 15} \quad / \cdot (x + 5)(x - 3)

\frac{x}{(x-3)} \cdot (x + 5)(x - 3) + \frac{4}{(x + 5)} \cdot (x + 5)(x - 3) = \frac{x^{2} + 8x - 9}{(x + 5)(x - 3)} \cdot (x + 5)(x - 3)

x \cdot (x + 5) + 4 \cdot (x - 3) = x^{2} + 8x - 9

x^{2} + 5x + 4x - 12 = x^{2} + 8x - 9 \quad / + (-x^{2})

x^{2} + (-x^{2}) + 9x - 12 = x^{2}  + (-x^{2}) + 8x - 9

9x - 12 = 8x - 9 \quad / + (-8x)

9x + (-8x) - 12 = 8x + (-8x) - 9

x - 12 = - 9 \quad / + 12

x - 12 + 12 = - 9 + 12

x = 3

Respuesta:

Ecuación sin solución

Debido a que el número tres indetermina la ecuación, esta no tiene solución.

Recursos

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Diego Gallardo

Profesor de Matemática en enseñanza básica y media, aficionado a la creación de contenidos y fan de pederse en el cerro ⛺.

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