Ecuaciones lineales

25/08/2022 · Actualizado: 25/08/2022

Aprende a resolver de forma simbólica ecuaciones lineales con coeficientes enteros y fraccionarios utilizando dos métodos.

Una ecuación es una igualdad de la forma ax + b = c con a ≠0, que contiene uno o más valores incógnitos, llamados variables. Dichos valores se pueden representar con una letra cualquiera, que llamamos incógnita. Estas operaciones se dividen por el signo '=', a la parte izquierda se le llama primer miembro de la ecuación y a la parte derecha segundo miembro de la ecuación.

Por ejemplo en la ecuación 4x + 8 =10, x es la incógnita, el primer miembro es 4x + 8 y el segundo miembro es 10.

Para resolver ecuaciones de primer grado de forma simbólica se aplican las operaciones de suma o multiplicación en ambos miembros de la igualdad, hasta despegar la incógnita. Cabe destacar que si deseamos restar sumamos por un número negativo y si se quiere dividir, se debe multiplicar por una fracción.

Si bien el método mencionado anteriormente es el formal, existe el método simplificado que se suele trabajar cuando ya se maneja el método formal para acortar el procedimiento. Este consiste en mover los números de un miembro de la igualdad a otra siempre con la operación contraria.

Índice de contenido

Ecuaciones lineales con coeficiente entero

Las ecuaciones que poseen en el coeficiente un número entero son las más sencillas de resolver y ya se suelen trabajar en primera instancia aplicando el método de la balanza. Vamos a ver unos ejemplos resolviendolas de forma simbólica.

Ejemplo 1

Resolver x + 3 = 8

Para resolver esta ecuación de primer grado se deben restar tres a ambos miembros de la igualdad para que la incógnita que está en el primer miembro sea igual al número resultante del segundo miembro de la igualdad.

El desarrollo que se muestra acontinuación utiliza el método formal para la resolución de ecuaciones lineales, por lo que en vez de restar 3, se suman -3. Pero también te muestra el método simplificado.

Desarrollo:

x + 3 = 8 \qquad /+(-3)

x + 3 + (-3) = 8 + (-3)

x = 5

Respuesta:

\boxed{x = 5}

Método simplificado: Para resolver el ejemplo 1 el número 3 positivo que está en el primer miembro de la igualdad pasa con la operación contraria, es decir, restando al segundo miembro de la igualdad.

x + 3 = 8

x = 8 - 3

\boxed{x = 5}

Puedes observar que con ambos métodos se llega al mismo resultado, por lo que puedes utilizar el método que te resulte más sencillo.

Ejemplo 2

Resolver 4x - 9 = 3

Para los casos donde el coeficiente de la incógnita es diferente de 1, el procedimiento es el mismo que en el ejemplo anterior, primero sumamos nueve en ambos miembros de la igualdad para despejar la incógnita, pero al tener coeficiente este se está multiplicando con la incógnita por lo que dividimos por ese coeficiente para obtener el neutro de la multiplicación y obtener el resultado, es decir, multiplicamos por la fracción de numerador uno y denominador el coeficiente, en este caso por \frac{1}{4}.

Desarrollo:

4x - 9 = 3 \qquad /+ 9

4x - 9 + 9 = 3 + 9

4x = 12

4x = 12 \qquad / \cdot \frac{1}{4}

4x \cdot \frac{1}{4} = 12 \cdot \frac{1}{4}

\frac{4}{4} \cdot x= \frac{12}{4}

x = 3

Respuesta:

\boxed{x = 3}

Método simplificado: El 9 que esta restando pasa sumando al segundo miembro de la ecuación y luego el 4 que esta multiplicando a la incógnita pasa dividiendo al segundo miembro de la ecuación.

4x - 9 = 3

4x = 3 + 9

4x = 12

x = \frac{12}{4}

\boxed{x = 3}

Ejemplo 3

Resolver 6x - 3 = 5 + 2x

En este tipo de ecuaciones lineales con la incógnita en ambos miembros se ordenan los términos semejantes. Para esto se suma por la incógnita toda la igualdad, en este caso por + (-2x), con el fin de que en el primer miembro quede la incógnita y se anule en el segundo miembro, luego se repite el procedimiento con los números, es este caso se suman tres (+3).

Desarrollo:

6x - 3 = 5 + 2x \qquad /+ (-2x)

6x - 3 + (-2x)= 5 + 2x + (-2x) \qquad /+ 3

6x - 3 + (-2x) + 3= 5 + 2x + (-2x) + 3

6x + (-2x) = 5 + 3

4x = 8

4x = 8 \qquad / \cdot \frac{1}{4}

4x \cdot \frac{1}{4}= 8 \cdot \frac{1}{4}

\frac{4}{4} \cdot x = \frac{8}{4}

Ecuaciones lineales

x = 2

Respuesta:

\boxed{x = 2}

Método simplificado: El 3 que esta restando pasa sumando al segundo miembro y el 2x que esta sumando pasa restando al primer miembro de la ecuación. Luego se reducen términos semejantes y el coeficiente de la incógnita pasa dividiendo al segundo miembro de la ecuación.

6x - 3 = 5 + 2x

6x - 2x = 5 + 3

4x = 8

x = \frac{8}{4}

\boxed{x = 2}

Ecuaciones lineales con coeficiente fraccionario

Las ecuaciones de primer grado con coeficiente fraccionario se resuelven utilizando el mismo procedimiento que las ecuaciones con coeficiente entero, pero con la excepción que se debe multiplicar la igualdad por el denominador del coeficiente fraccionario al inicio. Vamos a ver unos ejemplos:

Ejemplo 1

\frac{x}{4} + \frac{1}{2} = 9

Desarrollo:

\frac{x}{4} + \frac{1}{2} = 9 \qquad / \cdot 4

\frac{x}{4} \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 4 = 9  \cdot 4

\frac{4}{4} \cdot x + \frac{4}{2} = 36

x + 2 = 36

x + 2 = 36 \qquad / +(-2)

x + 2 + (-2) = 36 + (-2)

Ecuaciones lineales

x = 34

Respuesta:

\boxed{x = 34}

Método simplificado: Para el método simplificado es lo mismo, amplificamos por cuatro la igualdad, pero las simplificaciones se hacen mentalmente o en el cuaderno puedes simplificar antes de multiplicar.

\frac{x}{4} + \frac{1}{2} = 9 \qquad / \cdot 4

\frac{x}{4} \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 4 = 9  \cdot 4

x + 2 = 36

x = 36 - 2

\boxed{x = 34}

Ejemplo 2

\frac{3}{5}x - \frac{2}{10} = \frac{4}{2}

Desarrollo:

\frac{3}{5}x - \frac{2}{10} = \frac{4}{2} \qquad / \cdot 5

5 \cdot \frac{3}{5}x - 5 \cdot \frac{2}{10} = 5 \cdot \frac{4}{2}

\frac{15}{5}x - \frac{10}{10} = \frac{20}{2}

3x - 1 = 10

3x - 1 = 10 \qquad / + 1

3x - 1 + 1= 10 + 1

Ecuaciones lineales

3x = 11 \qquad / \cdot \frac{1}{3}

3x \cdot \frac{1}{3} = 11 \cdot \frac{1}{3}

Ecuaciones lineales

x = \frac{11}{3}

Respuesta:

\boxed{x = \frac{11}{3}}

Método simplificado:

\frac{3}{5}x - \frac{2}{10} = \frac{4}{2} \qquad / \cdot 5

5 \cdot \frac{3}{5}x - 5 \cdot \frac{2}{10} = 5 \cdot \frac{4}{2}

3x - 1 = 10

3x = 10 + 1

3x = 11

\boxed{x = \frac{11}{3}}

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Diego Gallardo

Profesor de Matemática en enseñanza básica y media, aficionado a la creación de contenidos y fan de pederse en el cerro ⛺.

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