Método de completar el cuadrado en ecuaciones cuadráticas

14/10/2022 · Actualizado: 14/10/2022

Aprende a aplicar el método de completar el cuadrado para resolver ecuaciones cuadráticas con ejemplos explicados paso a paso.

Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver por factorización, estos son por factor común, diferencia de cuadrados, trinomios de la forma x² + bx + c, ax² + bx + c o cuadrados perfectos, pero existen ecuaciones particulares que no se pueden resolver utilizando los métodos mencionados.

El método de completar el cuadrado se aplica en este tipo de ecuaciones cuadráticas particulares, pero se puede aplicar a ecuaciones que se pueden resolver con otra factorización.

Índice de contenido

Completación de cuadrados

El algoritmo de completar el cuadrado consiste en transformar las ecuaciones cuadráticas, ya sea escrita de la forma ax² + bx + c = 0 o no, en una ecuación de la forma \left( x \pm m \right)^{2} = n.

Para esto se utiliza el cuadrado de binomio, al cual se le debe calcular el tercer término 'c' aplicando la fórmula \left( \frac{b}{2} \right)^{2}.

Existen varios casos donde se puede aplicar este método asi que vamos a ver unos ejemplos.

Ejemplo 1

x^{2} + 6x = 0

Se puede observar que a la ecuación le falta el término 'c' para completar el cuadrado, por lo que aplicamos la fórmula mencionada anteriormente con b = 6.

\left( \frac{b}{2} \right)^{2}

\left( \frac{6}{2} \right)^{2}

\left( 3 \right)^{2}

9

\therefore c = 9

El tercer término del cuadrado de binomio siempre es positivo, y como vamos a agregar una operación a la igualdad, lo hacemos en ambos miembros, es decir, sumamos nueve en ambos lados.

x^{2} + 6x = 0 \quad / + 9

x^{2} + 6x + 9 = 0 + 9

x^{2} + 6x + 9 = 9

Con el próposito de ya factorizar debemos identificar el primer y segundo término del cuadrado de binomio, para esto calculamos la raíz cuadra del primer y tercer término del trinomio (x^{2} + 6x + 9 = 9).

1° término = x²

\sqrt{x^{2}} = x

2° término = 9

\sqrt{9} = 3

Completamos el cuadrado

\left( x + 3 \right)^{2} = 9

Desde aquí podemos resolverlo mediante una diferencia de cuadrados transponiendo el nueve al primer miembro (solo si dicho número es un cuadrado perfecto), o aplicando la raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación. A continuación se detallan ambas:

Con diferencia de cuadrados

\left( x + 3 \right)^{2} = 9

\left( x + 3 \right)^{2} - 9 = 0

\left [(x + 3) + 3 \right ] \left [(x + 3) - 3 \right ] = 0

(x_{1} + 3) +3 = 0

x_{1} + 6 = 0

x_{1} = -6

(x_{2} + 3) - 3 = 0

x_{2} + 0 = 0

x_{2} = 0

Aplicando raíz cuadrada

\left( x + 3 \right)^{2} = 9

\sqrt{\left( x + 3 \right)^{2}} = \sqrt{9}

| x + 3 | = 3

Aquí se resuelve la ecuación con valor absoluto.

x_{1} + 3 = 3

x_{1} = 3 - 3

x_{1} = 0

x_{2} + 3 = -3

x_{2} = -3 - 3

x_{2} = -6

Por lo tanto las soluciones a la ecuación x^{2} + 6x = 0 son 0 y -6. Aunque cabe destacar que es más recomendable aplicar el método de factorización por factor común en estos casos.

Ejemplo 2

x^{2} - 8x - 38 = 10

En este caso podemos observar que el término c = -38 no cumple con la condición para ser un trinomio cuadrado perfecto, por lo que transponemos el término c al segundo miembro de la ecuación.

x^{2} - 8x = 10 + 38

x^{2} - 8x = 48

Ahora se pude completar el cuadrado aplicando la fórmula \left( \frac{b}{2} \right)^{2}, con b = 8.

\left( \frac{8}{2} \right)^{2}

\left( 4 \right)^{2}

16

\therefore c = 16

Completamos el cuadrado sumando 16 en ambos miembros y calculamos la raíces para factorizar.

x^{2} - 8x + 16 = 48 + 16

x^{2} - 8x + 16 = 64

1° término = x²

\sqrt{x^{2}} = x

2° término = 16

\sqrt{16} = 4

\left( x - 4 \right)^{2} = 64

Este ejemplo se resolverá aplicando la raíz cuadrada que es lo más común.

\sqrt{\left( x - 4 \right)^{2}} = \sqrt{64}

| x - 4 | = 8

x_{1} - 4 = 8

x_{1} = 8 + 4

x_{1} = 12

x_{2} - 4 = -8

x_{2} = -8 + 4

x_{2} = -4

Por lo tanto las soluciones a la ecuación x^{2} - 8x - 38 = 10 son 12 y -4. Aunque cabe destacar que es más recomendable aplicar el método de factorización de trinomios de la forma x² + bx + c en estos casos (siempre y cuando se pueda).

Ejemplo 3

x^{2} - 10x - 65 = 0

Comenzamos transponiendo c = -65 al segundo miembro de la ecuación.

x^{2} - 10x = 0 + 65

x^{2} - 10x = 65

Calculamos el tercer término para completar el cuadrado con b = 10.

\left( \frac{b}{2} \right)^{2}

\left( \frac{10}{2} \right)^{2}

\left( 5 \right)^{2}

25

\therefore c = 25

Completamos, calculamos las raíces y factorizamos.

x^{2} - 10x + 25 = 65 + 25

x^{2} - 10x + 25 = 90

1° término = x²

\sqrt{x^{2}} = x

2° término = 25

\sqrt{25} = 5

\left( x - 5 \right)^{2} = 90

Ahora resolvemos aplicando la raíz cuadrada, en este caso solo se puede aplicar este método ya que el segundo miembro no es un cuadrado perfecto.

\sqrt{\left( x - 5 \right)^{2}} = \sqrt{90}

| x - 5 | = 3\sqrt{10}

x_{1} - 5 = 3\sqrt{10}

x_{1} = 3\sqrt{10} + 5

x_{1} \approx 14,4868

x_{2} - 5 = -3\sqrt{10}

x_{2} = -3\sqrt{10} + 5

x_{2} \approx 4,4868

Las respuestas se suelen dejar expresadas con la raíz, pero si el ejercicio pide resolver podemos entregar un resultado aproximado.

Ejemplo 4

3x^{2} + 3x - 6 = 0

Comenzamos dividiendo por tres la ecuación.

\frac{3}{3}x^{2} + \frac{3}{3}x - \frac{6}{3} = \frac{0}{3}

x^{2} + x - 2 = 0

Transponemos el -2 y calculamos el tercer término con b = 1.

x^{2} + x = 0 + 2

x^{2} + x = 2

\left( \frac{b}{2} \right)^{2}

\left( \frac{1}{2} \right)^{2}

\frac{1}{4}

Sumamos en ambos miembros un cuarto.

x^{2} + x + \frac{1}{4} = 2 + \frac{1}{4}

x^{2} + x + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}

Calculamos las raíces y completamos el cuadrado.

1° término = x²

\sqrt{x^{2}} = x

2° término = \frac{1}{4}

\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}

\left( x + \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{9}{4}

\sqrt{\left( x + \frac{1}{2} \right)^{2}} = \sqrt{\frac{9}{4}}

x + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

x_{1} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}

x_{1} = \frac{2}{2}

x_{1} = 1

x_{2} + \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}

x_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2}

x_{2} = - \frac{4}{2}

x_{2} = -2

De esta forma se puede completar el cuadrado para resolver ecuaciones cuadráticas.

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Diego Gallardo

Profesor de Matemática en enseñanza básica y media, aficionado a la creación de contenidos y fan de pederse en el cerro ⛺.

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