Resolución de ecuaciones cuadráticas por factorización

12/10/2022 · Actualizado: 12/10/2022

Aprende con ejemplos resueltos paso a paso a resolver ecuaciones cuadráticas o de segundo grado aplicando métodos de factorización.

La factorización consiste en separar en factores una expresión algebraica, es decir, identificar la multiplicación cuyo producto sea la expresión algebraica a factorizar.

Como una ecuación cuadrática siempre esta igualada a cero, nos aprovechamos de eso al factorizar, ya que, si una multiplicación de dos números A y B es igual a cero, cumple con que al menos uno de los factores es cero:

Si A \cdot B = 0, se tiene:

A = 0, B = 0 o A = B = 0

De esta forma una vez factorizada la ecuación de segundo grado, ambos factores se igualan a cero para calcular sus soluciones.

El truco para resolver ecuaciones cuadráticas con este método es identificar el tipo de factorización a realizar, esto se determina por la forma que tenga la ecuación, así que vamos a analizar cada caso.

Índice de contenido

Utilizando el factor común

Este método de factorización consiste en identificar un factor común, en el caso de las ecuaciones cuadráticas corresponde a la incógnita x.

Se aplica cuando el coeficiente 'c' de la ecuación es igual a cero, por lo tanto debe tener la forma: ax^{2} + bx = 0.

Ejemplo 1

x^{2} - 8x = 0

Desarrollo:

x^{2} - 8x = 0

Factorizando por factor común 'x'

x \cdot  \left (x - 8 \right ) = 0

Ahora ambos factores se igualan a cero para obtener las soluciones

x_{1} = 0

x_{2} - 8 = 0

x_{2} = 0 + 8

x_{2} = 8

Respuesta:

\therefore \boxed{x_{1} = 0} \wedge \boxed{x_{2} = 8}

Ejemplo 2

2x^{2} + 24x = 0

Desarrollo:

2x^{2} + 24x = 0

Factorizando por factor común '2x'

2x \cdot  \left (x + 12 \right ) = 0

Ahora ambos factores se igualan a cero para obtener las soluciones

2x = 0

x = \frac{0}{2}

x = 0

x + 12 = 0

x = 0 - 12

x = - 12

Respuesta:

\therefore \boxed{x_{1} = 0} \wedge \boxed{x_{2} = -12}

Como nota final se puede inferir que al resolver ecuaciones cuadráticas mediante la factorización por factor común, una solución siempre será cero.

Utilizando el trinomio cuadrado perfecto

La factorización de un trinomio cuadrado perfecto se utiliza cuando el coeficiente 'c' es un cuadrado perfecto, pero siempre se debe verificar que el segundo término sea el doble del primero por el segundo al factorizar.

Por lo tanto se aplica cuando la ecuación tiene la forma ax^{2} \pm bx + c= 0, y cumpla con las condiciones c = k^{2} y 2 \cdot k = b, es decir, se debe identificar un número que al elevarlo al cuadrado sea igual a 'c' y al multiplicarlo por dos sea igual a 'b'.

Se factoriza como (x \pm k)^{2} = 0.

Ejemplo 1

x^{2} + 10x + 25 = 0

Desarrollo:

Verificamos que cumple con las condiciones

c = k^{2}

25 = k^{2}

5 = k

2 \cdot k = b

2 \cdot k = 10

2 \cdot 5 = 10

10 = 10

Factorizamos y resolvemos

(x + 5)^{2} = 0

\sqrt{(x + 5)^{2}} = \sqrt{0}

x + 5 = 0

x = 0 - 5

x = -5

Respuesta:

\therefore \boxed{x = -5}

Ejemplo 2

x^{2} - 12x + 36 = 0

Desarrollo:

Verificamos que cumple con las condiciones

c = k^{2}

36 = k^{2}

6 = k^{2}

2 \cdot k = b

2 \cdot k = 12

2 \cdot 6 = 12

2 \cdot 6 = 12

Factorizamos y resolvemos

(x - 6)^{2} = 0

\sqrt{(x - 6)^{2}} = \sqrt{0}

x - 6 = 0

x = 0 + 6

x = 6

Respuesta:

\therefore \boxed{x = 6}

Al resolver ecuaciones cuadráticas por el método de factorización de trinomio cuadrado perfecto, siempre tendremos dos soluciones reales iguales, es decir, una solución.

Utilizando la diferencia de cuadrados

La diferencia de cuadrados se aplica cuando la ecuación tiene la forma ax^{2} - c = 0, por lo que 'b' debe ser cero y c negativo. Además debe cumplir con la condición de que a y c son cuadrados perfectos, en otros términos, \sqrt{a} = m y \sqrt{a} = n con m, n \in \mathbb{Z}

Se factoriza como (mx + n)(mx - n) = 0

Ejemplo 1

x^{2} - 49 = 0

Desarrollo:

Verificamos que cumple con la condición aplicando la raíz cuadrada

a = 1

\sqrt{1} = 1

c = 49

\sqrt{49} = 7

Factorizamos e igualamos a cero

(x + 7)(x - 7) = 0

x_{1} + 7 = 0

x_{1} = 0 - 7

x_{1} = - 7

x_{2} - 7 = 0

x_{2} = 0 + 7

x_{2} = 7

Respuesta:

\therefore \boxed{x_{1} = -7} \wedge \boxed{x_{2} = 7}

Ejemplo 2

4x^{2} - 36 = 0

Desarrollo:

Verificamos que cumple con la condición aplicando la raíz cuadrada

a = 4

\sqrt{4} = 2

c = 36

\sqrt{36} = 6

Factorizamos e igualamos a cero

(2x + 6)(2x - 6) = 0

2x_{1} + 6 = 0

2x_{1} = 0 - 6

2x_{1} = -6

x_{1} = \frac{-6}{2}

x_{1} = -3

2x_{2} - 6 = 0

2x_{2} = 0 + 6

2x_{2} = 6

x_{2} = \frac{6}{2}

x_{2} = 3

Respuesta:

\therefore \boxed{x_{1} = -3} \wedge \boxed{x_{2} = 3}

Utilizando la factorización de un trinomio de la forma x²+ bx + c

Para factorizar trinomios de la forma x²+ bx + c se deben identificar el término común (para estos casos es x), y buscar dos números que multiplicados sean igual a 'c' y sumados igual a 'b', dicho de otra manera, m, n \in \mathbb{R} | m \cdot n = c \wedge m + n = b

Se factoriza como (x + m)(x - n) = 0

Ejemplo 1

x^{2} + x - 2 = 0

Desarrollo:

Identificamos los números que cumplen con la condición

m \cdot n = c

m \cdot n = -2

2 \cdot (-1) = -2

-2 = -2

m + n = b

m + n = 1

2 + (-1) = 1

1 = 1

\rightarrow m = 2 \wedge n = 1

Factorizamos e igualamos a cero

(x + 2)(x - 1) = 0

x_{1} + 2 = 0

x_{1} = 0 - 2

x_{1} = - 2

x_{2} - 1 = 0

x_{2} = 0 + 1

x_{2} = 1

Respuesta:

\therefore \boxed{x_{1} = -2} \wedge \boxed{x_{2} = 1}

Ejemplo 2

x^{2} + 10x + 24 = 0

Desarrollo:

Identificamos los números que cumplen con la condición

m \cdot n = c

m \cdot n = 24

6 \cdot 4 = 24

24 = 24

m + n = b

m + n = 10

6 + 4 = 10

10 = 10

\rightarrow m = 6 \wedge n = 4

Factorizamos e igualamos a cero

(x + 6)(x + 4) = 0

x_{1} + 6 = 0

x_{1} = 0 - 6

x_{1} = - 6

x_{2} + 4 = 0

x_{2} = 0 - 4

x_{2} = - 4

Respuesta:

\therefore \boxed{x_{1} = -6} \wedge \boxed{x_{2} = -4}

Utilizando la factorización de un trinomio de la forma ax²+ bx + c

Este tipo de factorización tiene diversos métodos para ser aplicado, por lo que te dejo este enlace hacia la clase de factorización de trinomios donde explico dos métodos.

Una vez factorizada la expresión de segundo grado, los factores se igualan a cero para resolver.

Ejemplo 1

5x^{2} + 4x - 12 = 0

Desarrollo:

Factorizando

5x^{2} + 4x - 12 = 0 \quad / \cdot \frac{5}{5}

\frac{5x^{2} \cdot 5 + 4x \cdot 5 - 12 \cdot 5}{5} = \frac{0 \cdot 5}{5}

\frac{25x^{2} + 20x - 60}{5} = 0

\frac{(5x + 10)(5x - 6)}{5} = 0

\frac{5(x + 2)(5x - 6)}{5} = 0

\frac{\not{5}(x + 2)(5x - 6)}{\not{5}} = 0

(x + 2)(5x - 6) = 0

Igualando a cero ambos factores para calcular las soluciones

x_{1} + 2 = 0

x_{1} = 0 - 2

x_{1} = - 2

5x_{2} - 6 = 0

5x_{2} = 0 + 6

5x_{2} = 6

x_{2} = \frac{6}{5}

Respuesta:

\therefore \boxed{x_{1} = -2} \wedge \boxed{x_{2} = \frac{6}{5}}

Ejemplo 2

3x^{2} - 5x + 2 = 0

Desarrollo:

Factorizando

3x^{2} - 3x - 2x + 2 = 0

3x(x - 1) - 2(x + 1) = 0

(x + 1)(3x - 2) = 0

Igualando a cero ambos factores para calcular las soluciones

x_{1} + 1 = 0

x_{1} = 0 - 1

x_{1} = - 1

3x_{2} - 2 = 0

3x_{2} = 0 + 2

3x_{2} = 2

x_{2} = \frac{2}{3}

Respuesta:

\therefore \boxed{x_{1} = -1} \wedge \boxed{x_{2} = \frac{2}{3}}

Recursos

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Guías de aprendizaje

WordVer carpeta

Diego Gallardo

Profesor de Matemática en enseñanza básica y media, aficionado a la creación de contenidos y fan de pederse en el cerro ⛺.

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    1 Comentarios

  1. Kimberly Jimenez dice:

    not helpfull

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