Resolución de ecuaciones cuadráticas por fórmula general

09/10/2022 · Actualizado: 09/10/2022

Aprende a resolver ecuaciones cuadráticas aplicando la fórmula general, y además a identificar sus soluciones mediante el discriminante.

Si deseas recordar lo básico sobre ecuaciones cuadráticas puedes ver esta clase: Ecuación cuadrática.

Índice de contenido

Fórmula general

La fórmula general es una expresión que nos permite calcular la o las soluciones a las ecuaciones cuadráticas.

ecuaciones cuadráticas fórmula general

con a, b, c \in \mathbb{R}

Discriminante

Esta fórmula permite identificar si la ecuación no tiene solución, tiene una solución o dos soluciones, esto gracias al discriminante (\Delta) que corresponde a la expresión que esta dentro de la raíz cuadrada.

\Delta = b^{2} - 4ac

La ecuación no tiene solución en los realesLa ecuación tiene dos soluciones reales igualesLa ecuación tiene dos soluciones reales distintas
\Delta < 0\Delta = 0\Delta > 0
0 soluciones1 solución2 soluciones

En el caso de que el discriminante sea menor que cero (\Delta < 0) no es necesario aplicar la fórmula general, si el discriminante es igual a cero (\Delta = 0) significa que la raíz en la fórmula es cero, por lo que se calcula solo x = \frac{-b}{2a}, y si el discriminante es mayor que cero (\Delta > 0) la fórmula general se separa en dos:

x_{1} = \frac{-b + \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}

ó

x_{1} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}

x_{2} = \frac{-b - \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}

ó

x_{2} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}

¿Cómo resolver ecuaciones cuadráticas con la fórmula general?

Para resolver ecuaciones cuadráticas aplicando la fórmula general se realizan los siguientes pasos:

  1. Identificar los coeficientes a,b y c.
  2. Calcular el discriminante (\Delta)
  3. Aplicar la fórmula general.

Vamos a ver unos ejemplos.

Ejemplo 1

x^{2} + x - 20 = 0

Desarrollo:

  1. Identificar los coeficientes a,b y c.

a = 1, b = 1 y c = -20

  1. Calcular el discriminante (\Delta).

\Delta = b^{2} - 4ac

\Delta = (1)^{2} - 4 \cdot (1) \cdot (-20)

\Delta = 1 - (-80)

\Delta = 1 + 80

\Delta = 81

\Delta > 0

\therefore la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.

  1. Aplicar la fórmula general.

x_{1} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}

x_{1} = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{-1 + 9}{2}

x_{1} = \frac{8}{2}

\boxed{x_{1} = 4}

x_{2} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}

x_{2} = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{-1 - 9}{2}

x_{2} = \frac{-10}{2}

\boxed{x_{2} = -5}

Ejemplo 2

x^{2} - 6x + 9 = 0

  1. Identificar los coeficientes a,b y c.

a = 1, b = -6 y c = 9

  1. Calcular el discriminante (\Delta).

\Delta = b^{2} - 4ac

\Delta = (-6)^{2} - 4 \cdot (1) \cdot (9)

\Delta = 36 - 36

\Delta = 0

\therefore la ecuación tiene dos soluciones reales iguales.

  1. Aplicar la fórmula general.

x = \frac{-b}{2a}

x = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1}

x = \frac{6}{2}

\boxed{x = 3}

Ejemplo 3

2x^{2} + 2x + 1 = 0

  1. Identificar los coeficientes a,b y c.

a = 2, b = 2 y c = 1

  1. Calcular el discriminante (\Delta).

\Delta = b^{2} - 4ac

\Delta = (2)^{2} - 4 \cdot (2) \cdot (1)

\Delta = 4 - 8

\Delta = -4

\Delta < 0

\therefore la ecuación no tiene solución en los reales

Demostración de la fórmula general

Sea ax^{2} + bx + c = 0

Multiplicamos por \frac{1}{a}, es decir, dividimos por a

\frac{ax^{2}}{a} + \frac{bx}{a} + \frac{c}{a} = 0

x^{2} + \frac{bx}{a} + \frac{c}{a} = 0

Transponemos el tercer término de la expresión al segundo miembro

x^{2} + \frac{bx}{a} = - \frac{c}{a}

Completamos el cuadrado del primer miembro sumando \frac{b^{2}}{4a^{2}}

x^{2} + \frac{bx}{a} + \frac{b^{2}}{4a^{2}} = - \frac{c}{a} + \frac{b^{2}}{4a^{2}}

\left (x + \frac{b}{2a} \right )^{2} = \frac{-c \cdot (4a) + b^{2}}{4a^{2}}

\left (x + \frac{b}{2a} \right )^{2} = \frac{-4ac + b^{2}}{4a^{2}}

\left (x + \frac{b}{2a} \right )^{2} = \frac{b^{2} - 4ac}{4a^{2}}

Aplicamos la raíz cuadrada en ambos miembros

\sqrt{ \left (x + \frac{b}{2a} \right )^{2}} = \sqrt{  \frac{b^{2} - 4ac}{4a^{2}}}

\left (x + \frac{b}{2a} \right ) = \frac{\pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}

Transponemos el término \frac{b}{2a} al segundo miembro y se suma las fracciones de igual denominador

x = - \frac{b}{2a} + \frac{\pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}

\boxed{x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}}

Recursos

Presentaciones

Power pointVer carpeta

Guías de aprendizaje

WordVer carpeta

Diego Gallardo

Profesor de Matemática en enseñanza básica y media, aficionado a la creación de contenidos y fan de pederse en el cerro ⛺.

También te puede interesar

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.

Subir