Sumas y restas de fracciones algebraicas

13/08/2022 · Actualizado: 23/08/2022

Aprende a resolver sumas y restas de fracciones algebraicas aplicando el método de igualar los denominadores mediante el M.C.M.

Las fracciones se escriben de la forma \frac{a}{b} y se componen por un numerador (a) y un denominador (b) que corresponden a números reales, pero cuando hablamos de fracciones algebraicas dicho numerador, denominador o ambos pueden contener una expresión algebraica.

Para resolver adiciones y sustracciones de fracciones existen dos métodos, el primero consiste en aplicar el mínimo común múltiplo y el segundo es el método de la 'mariposa' que consiste en realizar productos. Ambos métodos son aplicables para las adiciones y sustracciones de fracciones algebraicas, pero el más utilizado es el primero.

Índice de contenido

Cómo calcular sumas y restas de fracciones algebraicas

Las sumas o restas de fracciones algebraicas se resuelven siempre igualando los denominadores para luego sumar o restar los numeradores aplicando la reducción de expresiones algebraicas.

En el caso de que los denominadores esten iguales tan solo se debe aplicar la adición o sustracción en los numeradores, pero si son diferentes se debe calcular el mínimo común múltiplo (M.C.M).

Todo depende del ejercicio, por lo que a continuación vamos a analizar los casos posibles.

Adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominador numérico

Al poseer denominador numérico estas fracciones algebraicas son las más simples de resolver, vamos a ver unos ejemplos.

Ejemplo 1

\frac{a+2}{7} + \frac{2a+5}{7}

Explicación: Se puede observar que el las fracciones poseen el mismo denominador, por lo tanto para resolver esta operación se mantiene el denominador y se suman los numeradores.

Desarrollo:

\frac{a+2}{7} + \frac{2a+5}{7}

\frac{a+2 + 2a + 5}{7}

\frac{3a + 7}{7}

Respuesta:

\frac{a+2}{7} + \frac{2a+5}{7} = \frac{3a + 7}{7}

Ejemplo 2

\frac{x + y}{5} - \frac{3x + y}{2}

Explicación: En este ejemplo los denominadores son diferentes, por lo tanto se debe calcular el M.C.M entre 5 y 2, al ser números primos su M.C.M. es la multiplicación entre ambos. Entonces las fracciones algebraicas se deben amplificar por el denominador contrario.

Desarrollo:

\frac{x + y}{5} - \frac{3x + y}{2}

\frac{x + y}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3x + y}{2} \cdot \frac{5}{5}

\frac{2 \cdot (x + y)}{5 \cdot 2} - \frac{5 \cdot (3x + y)}{2 \cdot 5}

\frac{2x + 2y}{10} - \frac{15x + 5y}{10}

\frac{2x + 2y - (15x + 5y)}{10}

\frac{2x + 2y - 15x - 5y}{10}

\frac{-13x - 3y}{10}

Respuesta:

\frac{x + y}{5} - \frac{3x + y}{2} = \frac{-13x - 3y}{10}

Ejemplo 3

\frac{2m + 2}{3} + \frac{m - 4}{12}

Explicación: Aquí igual que en el ejemplo anterior los denominadores son diferentes, pero son multiplos por lo que su M.C.M es el número mayor (12) y tan solo se debe amplificar la primera fracción por 4 para igualar los denominadores y luego operar.

\frac{2m + 2}{3} + \frac{m - 4}{12}

\frac{2m + 2}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{m - 4}{12}

\frac{4 \cdot (2m + 2)}{3 \cdot 4} + \frac{m - 4}{12}

\frac{8m + 8}{12} + \frac{m - 4}{12}

\frac{8m + 8 + m - 4}{12}

\frac{9m + 4}{12}

Sumas y restas de fracciones algebraicas con un monomio en el denominador

Para resolver este tipo de ejercicios se aplica el mismo concepto anterior, si los denominadores son iguales se mantiene el denominador y operan los numeradores, pero si son distintos se debe calcular el M.C.M para igual los denominadores antes de operar.

Ejemplo 1

\frac{6x - 2}{4x} + \frac{2x - 8}{4x}

Explicación: Se mantiene el denominador y operan los numeradores. Se debe simplificar la fracción.

\frac{6x - 2}{4x} + \frac{2x - 8}{4x}

\frac{6x - 2 + 2x - 8}{4x}

\frac{8x - 10}{4x}

\frac{2 \cdot (4x + 5)}{2 \cdot 2x}

\frac{\not{2} \cdot (4x + 5)}{\not{2} \cdot 2x}

\frac{4x + 5}{2x}

Respuesta:

\frac{6x - 2}{4x} + \frac{2x - 8}{4x} = \frac{4x + 5}{2x}

Ejemplo 2

\frac{4x}{x} + \frac{5x}{2x} - \frac{3}{5x^{2}}

Explicación: Se debe calcular el M.C.M de los coeficientes y luego el de la parte literal, se puede observar que los coeficientes son números primos, entonces su M.C.M es su multiplicación, es decir, 10. Para la parte literal se aprecia que es la misma letra (x) en todos los denominadores, por lo tanto su M.C.M es el denominador de mayor grado, en este caso x^{2}. Debido a esto el M.C.M entre las fracciones algebraicas es 10x^{2}.

Para identificar el monomio por el que se debe amplificar cada fracción se debe dividir el M.C.M. entre el denominador:

  • \frac{10x^{2}}{x} = \frac{10 \cdot x \cdot x}{x} = \frac{10 \cdot \not{x} \cdot x}{\not{x}} = 10x, entonces la primera fracción se amplifica por 10x
  • \frac{10x^{2}}{2x} = \frac{5 \cdot 2 \cdot x \cdot x}{2 \cdot x} = \frac{5 \cdot \not{2} \cdot \not{x} \cdot x}{\not{2} \cdot \not{x}} = 5x, la segunda fracción se amplifica por 5x.
  • \frac{10x^{2}}{5x^{2}} = \frac{5 \cdot 2 \cdot x \cdot x}{5 \cdot x \cdot x} = \frac{\not{5} \cdot 2 \cdot \not{x} \cdot \not{x}}{\not{5} \cdot \not{x} \cdot \not{x}} = 2, la tercera fracción se amplifica por 2.

Luego de amplificar e igualar denominadores se operan los numeradores.

Desarrollo:

\frac{4x}{x} + \frac{5x}{2x} - \frac{3}{5x^{2}}

\frac{4x}{x} \cdot \frac{10x}{10x} + \frac{5x}{2x} \cdot \frac{5x}{5x} - \frac{3}{5x^{2}} \cdot \frac{2}{2}

\frac{4x \cdot 10x}{x \cdot 10x} + \frac{5x \cdot 5x}{2x \cdot 5x} - \frac{3 \cdot 2}{5x^{2} \cdot 2}

\frac{40x^{2}}{10x^{2}} + \frac{25x^{2}}{10x^{2}} - \frac{6}{10x^{2}}

\frac{40x^{2} + 25x^{2} - 6}{10x^{2}}

\frac{65x^{2} - 6}{10x^{2}}

Respuesta:

\frac{4x}{x} + \frac{5x}{2x} - \frac{3}{5x^{2}} = \frac{65x^{2} - 6}{10x^{2}}

Sumas y restas de fracciones algebraicas con binomios o polinomios en el denominador

Para calcular el M.C.M. siempre se deben factorizar las expresiones algebraicas con el fin de identificar factores en común y lograr igualar los denominadores para operar los numeradores.

Ejemplo 1

\frac{2a - 1}{3(a - 2)} - \frac{2a - 2}{a^{2} - 4}

Explicación: En el ejercicio planteado el primer denominador esta factorizado, entonces solo se debe factorizar la diferencia de cuadrados a^{2} - 4 = (a + 2)(a - 2) para calcular el M.C.M.

El M.C.M. se identifica observando los denominadores y manteniendo todos los factores excepto por los factores que sean iguales en ambos denominadores que se mantiene solo una vez. Entonces para este ejercicio con los denominadores 3(a - 2) y $(a + 2)(a - 2)$ el M.C.M. es 3(a - 2)(a + 2), y para calcular el factor que amplifica a cada fracción se divide el M.C.M. en el denominador.

  • \frac{3(a - 2)(a + 2)}{3(a - 2)} = a + 2, entonces la primera fracción se amplifica por a + 2.
  • \frac{3(a - 2)(a + 2)}{(a + 2)(a - 2)} =  3, la segunda fracción se amplifica por 3.

Nota: No es necesario realizar todo este calculo cuando se domina el algoritmo, ya que solo observando puedes identificar la expresión o término por el que amplificar.

Desarrollo:

\frac{2a - 1}{3(a - 2)} - \frac{2a - 2}{a^{2} - 4}

\frac{2a - 1}{3(a - 2)} - \frac{2a - 2}{(a + 2)(a - 2)}

\frac{2a - 1}{3(a - 2)} \cdot \frac{(a+2)}{(a+2)} - \frac{2a - 2}{(a + 2)(a - 2)} \cdot \frac{3}{3}

\frac{(2a - 1)(a + 2)}{3(a - 2)(a + 2)} - \frac{3 \cdot (2a - 2)}{3(a + 2)(a - 2)}

\frac{2a^{2} + 4a - a - 2}{3(a - 2)(a + 2)} - \frac{6a - 6}{3(a + 2)(a - 2)}

\frac{2a^{2} +3a - 2}{3(a - 2)(a + 2)} - \frac{6a - 6}{3(a + 2)(a - 2)}

\frac{2a^{2} +3a - 2 - (6a - 6)}{3(a - 2)(a + 2)}

\frac{2a^{2} +3a - 2 - 6a + 6}{3(a - 2)(a + 2)}

\frac{2a^{2} - 3a + 4}{3(a - 2)(a + 2)}

\frac{2a^{2} - 3a + 4}{3(a - 2)(a + 2)}

Respuesta:

\frac{2a - 1}{3(a - 2)} - \frac{2a - 2}{a^{2} - 4} = \frac{2a^{2} - 3a + 4}{3(a - 2)(a + 2)}

Ejemplo 2

\frac{3x}{x^{2} - 2x} - \frac{x^{2} + 4x + 3}{x^{2} - x - 2}

Desarrollo:

Factorizando

\frac{3x}{x(x - 2)} - \frac{(x + 3)(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)}

Simplificando

\frac{3x}{x(x - 2)} - \frac{(x + 3)}{(x - 2)}

M.C.M = x(x - 2)

Igualando denominadores

\frac{3x}{x(x - 2)} - \frac{(x + 3)}{(x - 2)} \cdot \frac{x}{x}

\frac{3x}{x(x - 2)} - \frac{x(x + 3)}{x(x - 2)}

\frac{3x}{x(x - 2)} - \frac{x^{2} + 3x}{x(x - 2)}

Operando los numeradores

\frac{3x - (x^{2} + 3x)}{x(x - 2)}

\frac{3x - x^{2} - 3x}{x(x - 2)}

\frac{x^{2}}{x(x - 2)}

Simplificando

\frac{x \cdot x}{x \cdot (x - 2)}

\frac{\not{x} \cdot x}{\not{x} \cdot (x - 2)}

\frac{x}{x - 2}

Respuesta:

\frac{3x}{x^{2} - 2x} - \frac{x^{2} + 4x + 3}{x^{2} - x - 2} = \frac{x}{x - 2}

Si llegaste hasta aquí te diste cuenta que cada ejercicio sobre sumas y restas de fracciones algebraicas es particular, pero todos siguen los pasos de igualar los denominadores, luego operar los numeradores y finalmente simplificar si es posible.

Recursos

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Diego Gallardo

Profesor de Matemática en enseñanza básica y media, aficionado a la creación de contenidos y fan de pederse en el cerro ⛺.

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