Teorema de Pitágoras

25/10/2022 · Actualizado: 02/01/2024

En esta lección aprenderás qué es el Teorema de Pitágoras, su demostración, ejemplos resueltos paso a paso y como aplicarlo en la resolución de problemas.

Índice de contenido

Historia del Teorema de Pitágoras

Los primeros registros de la aplicación del teorema de Pitágoras se remontan al antiguo Egipto y Babilonia, a través de la tabla Babilónica conocida como Plimton 322, en la cual se interpretan ternas pitagóricas.

La interpretación de Plimton 322, que se cree que fue escrita el cerca de 1.800 a.C., en un principio era variada, primero describiendo la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, luego Otto E. Neugebauer en 1.957 interpreta la tablilla aplicando la teoría de números, Buck sin embargo en 1.980 opta por una explicación trigonométrica, siendo esta una teoría que utiliza conceptos tanto antiguos como actuales, pero no es hasta 2.017 que los matemáticos Daniel Mansfield y Norman Wilderberg que describen la razón trigonométrica presente en Plimton 322.

Cabe destacar que, si bien la relación entre los lados de un triángulo rectángulo era conocida, no fue formalizada como Teorema hasta que Pitágoras lo hizo.

Pitágoras considerado el primer matemático puro, fue un pensador griego que aportó a la sociedad grandes avances matemáticos, astronómicos, musicales y filosóficos. Su reconocimiento comienza a ascender cuando forma la Hermandad Pitagórica, un culto que desarrollo muchas ideas dotando a los números cualidades místicas y espirituales.

La hermandad fue un culto cerrado en el cual personas participaron de demostraciones geométricas, pero es difícil asegurar quien demostró qué, ya que la mayoría de sus descubrimientos fueron secretos. Debido a esto es imposible confirmar que Pitágoras fue el autor real, pero a pesar de esto se le atribuye esta contribución a la matemática.

Conceptos básicos

El teorema es aplicable solo a triángulos rectángulos. Estos se componen por las siguientes partes:

  • Ángulo recto: Es un ángulo de 90° que se representa en el triángulo como un cuadrado.
  • Catetos: Corresponden a los lados de menor longitud pertenecientes a un triángulo rectángulo.
  • Hipotenusa: Es el lado de mayor longitud en un triángulo rectángulo que siempre se ubica opuesto al ángulo recto.

Fórmula del Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras es una relación que nos permite calcular cualquier lado de un triángulo rectángulo, siempre y cuando se tengan la medida de los lados restantes.

Esta relación corresponde a que 'el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos'.

Matemáticamente: hipotenusa² = cateto² + cateto², pero con el fin de abreviar la expresión la hipotenusa se representa con la letra 'c', y los catetos con la letra 'a' y 'b'.

teorema de pitágoras

$$ \boxed{c^{2} = a^{2} + b^{2}} $$

Fórmulas derivadas del Teorema

Con el fin de acortar el procedimiento al calcular, algunos profesores entregan formulas derivadas del Teorema de Pitágoras, estas son:

Fórmula para calcular la hipotenusa

$$ \boxed{c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}} $$

Fórmula para calcular el cateto

$$ \boxed{a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}} $$

$$ \boxed{b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}} $$

Ejemplos resueltos

Al aplicar el Teorema de Pitágoras en ejercicios comunes que se basan en calcular un lado faltante dentro de un triángulo rectángulo, se presentan dos casos posibles que son: calcular un cateto o calcular la hipotenusa, a continuación, se presentan ejemplos resueltos de ambos casos.

En el proceso de resolución se aplican los conceptos de potencia, ecuación lineal y raíces cuadradas. En los enlaces anteriores te comparto lecciones en las que puedes repasar los contenidos antes de ver los ejemplos, solo si lo estimas necesario.

Calcular la hipotenusa aplicando el Teorema de Pitágoras

Para calcular la hipotenusa se reemplaza el valor de los catetos en la fórmula, se elevan al cuadrado, se suman los productos y finalmente se aplica la raíz cuadrada a la igualdad. Vamos a ver unos ejemplos:

Ejemplo 1: Calcular la medida de la hipotenusa en el siguiente triángulo rectángulo

Ejemplo 1: Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo

\( a = 8 \) y \( b = 6 \)

Reemplazamos en la fórmula

$$ c^{2} = a^{2} + b^{2} $$

$$ h^{2} = 8^{2} + 6^{2} $$

Resolvemos las potencias y sumamos

$$ h^{2} = 64 + 36 $$

$$ h^{2} = 100 $$

Aplicamos raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad

$$ \sqrt{h^{2}} = \sqrt{100} $$

$$ \boxed{h = 10} $$

Respuesta: \( \therefore \) la hipotenusa mide 10 cm.

Ejemplo 2: Calcular la medida de la hipotenusa en el siguiente triángulo rectángulo

Ejemplo 2: Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo

\( a = 12 \) y \( b = 5 \)

Reemplazamos en la fórmula

$$ c^{2} = a^{2} + b^{2} $$

$$ h^{2} = 12^{2} + 5^{2} $$

Resolvemos las potencias y sumamos

$$ h^{2} = 144 + 25 $$

$$ h^{2} = 169 $$

Aplicamos raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad

$$ \sqrt{h^{2}} = \sqrt{169} $$

$$ \boxed{h = 13} $$

Respuesta: \( \therefore \) la hipotenusa mide 13 cm.

Con el fin de reducir los pasos al aplicar el Teorema de Pitágoras se puede aplicar la fórmula para calcular la hipotenusa:

$$ \boxed{c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}} $$

Calcular el cateto aplicando el Teorema de Pitágoras

Para calcular un cateto se reemplaza el valor de un cateto y la hipotenusa en la fórmula, aplicando el método abreviado para resolver ecuaciones lineales, el cateto elevado a 2 pasa restando a la hipotenusa, se resuelven los cuadrados, se suman los productos y finalmente se aplica la raíz cuadrada a la igualdad. Vamos a ver unos ejemplos:

Ejemplo 1: Calcular la medida del cateto en el siguiente triángulo rectángulo

Ejemplo 1: Calcular el cateto de un triángulo rectángulo

\( c = 4 \) y \( h = 5 \)

Reemplazamos en la fórmula

$$ c^{2} = a^{2} + b^{2} $$

$$ 5^{2} = 4^{2} + c^{2} $$

Transponemos el cateto y resolvemos

$$ 5^{2} - 4^{2} = c^{2} $$

$$ 25 - 16 = c^{2} $$

$$ 9 = c^{2} $$

$$ \sqrt{9} = \sqrt{c^{2}} $$

$$ \boxed{3 = c} $$

Respuesta: \( \therefore \) el cateto mide es 3 m.

Ejemplo 2: Calcular la medida del cateto en el siguiente triángulo rectángulo

Ejemplo 2: Calcular el cateto de un triángulo rectángulo

\( b = 15 \) y \( c = 17 \)

Reemplazamos en la fórmula

$$ 17^{2} = c^{2} + 15^{2} $$

Transponemos el cateto y resolvemos

$$ 17^{2} - 15^{2} = c^{2} $$

$$ 289 - 225 = c^{2} $$

$$ 64 = c^{2} $$

$$ \sqrt{64} = \sqrt{c^{2}} $$

$$ \boxed{8 = c} $$

Respuesta: \( \therefore \) el cateto mide es 8 mm.

Con el fin de reducir los pasos al aplicar el Teorema de Pitágoras se puede aplicar la fórmula para calcular el cateto:

$$ \boxed{\sqrt{hipotenusa^{2} - cateto^{2}} = cateto} $$

Ejercicios sobre el Teorema de pitágoras

0 votos, 0 media
16

Ejercicios: Teorema de pitágoras

Ponte a prueba con cuatro ejercicios sobre el teorema de pitágoras.

1 / 4

2 / 4

3 / 4

4 / 4

Your score is

0%

Por favor califica estos ejercicios. Tu feedback es importante.

Ternas pitagóricas

Una terna pitagórica son tres números naturales que satisfacen la ecuación \( c^{2} = a^{2} + b^{2} \), es decir, corresponden a números que cumplen con la relación descrita por Pitágoras, siendo a y b catetos, y c la hipotenusa.

Las ternas pitagóricas se escriben de forma ordenada entre un paréntesis (a, b, c), si los números que componen una terna son primos relativos (su M.C.D. es 1), se denominan números pitagóricos o ternas pitagóricas primitivas.

En la siguiente imagen te comparto las primeras 16 ternas pitagóricas con \( c < 100 \) para que la descargues y tengas siempre a mano.

Si estas en búsqueda de más ternas pitagóricas te comparto estos 158 tríos pitágoricos cuyo \( c<1.000 \).

158 ternas pitágoricas (Clic aquí para ver)
(3,4,5)(5,12,13)(7,24,25)(8,15,17)(9,40,41)(11,60,61)
(12,35,37)(13,84,85)(15,112,113)(16,63,65)(17,144,145)(19,180,181)
(20,21,29)(20,99,101)(21,220,221)(23,264,265)(24,143,145)(25,312,313)
(27,364,365)(28,45,53)(28,195,197)(29,420,421)(31,480,481)(32,255,257)
(33,56,65)(33,544,545)(35,612,613)(36,77,85)(36,323,325)(37,684,685)
(39,80,89)(39,760,761)(40,399,401)(41,840,841)(43,924,925)(44,117,125)
(44,483,485)(48,55,73)(48,575,577)(51,140,149)(52,165,173)(52,675,677)
(56,783,785)(57,176,185)(60,91,109)(60,221,229)(60,899,901)(65,72,97)
(68,285,293)(69,260,269)(75,308,317)(76,357,365)(84,187,205)(84,437,445)
(85,132,157)(87,416,425)(88,105,137)(92,525,533)(93,476,485)(95,168,193)
(96,247,265)(100,621,629)(104,153,185)(105,208,233)(105,608,617)(108,725,733)
(111,680,689)(115,252,277)(116,837,845)(119,120,169)(120,209,241)(120,391,409)
(123,836,845)(124,957,965)(129,920,929)(132,475,493)(133,156,205)(135,352,377)
(136,273,305)(140,171,221)(145,408,433)(152,345,377)(155,468,493)(156,667,685)
(160,231,281)(161,240,289)(165,532,557)(168,425,457)(168,775,793)(175,288,337)
(180,299,349)(184,513,545)(185,672,697)(189,340,389)(195,748,773)(200,609,641)
(203,396,445)(204,253,325)(205,828,853)(207,224,305)(215,912,937)(216,713,745)
(217,456,505)(220,459,509)(225,272,353)(228,325,397)(231,520,569)(232,825,857)
(240,551,601)(248,945,977)(252,275,373)(259,660,709)(260,651,701)(261,380,461)
(273,736,785)(276,493,565)(279,440,521)(280,351,449)(280,759,809)(287,816,865)
(297,304,425)(300,589,661)(301,900,949)(308,435,533)(315,572,653)(319,360,481)
(333,644,725)(336,377,505)(336,527,625)(341,420,541)(348,805,877)(364,627,725)
(368,465,593)(369,800,881)(372,925,997)(385,552,673)(387,884,965)(396,403,565)
(400,561,689)(407,624,745)(420,851,949)(429,460,629)(429,700,821)(432,665,793)
(451,780,901)(455,528,697)(464,777,905)(468,595,757)(473,864,985)(481,600,769)
(504,703,865)(533,756,925)(540,629,829)(555,572,797)(580,741,941)(615,728,953)
(616,663,905)(696,697,985)

Aplicaciones del Teorema de Pitágoras

Desde la antigüedad se utiliza la relación pitagórica en la vida, por ejemplo, los constructores sin grandes instrumentos de medición debían construir ángulos rectos, para esto se utilizaban cuerdas a las que se realizaban nudos aplicando las ternas pitagóricas para la elaboración de dichos ángulos.

Hoy en día podemos encontrarlo en:

  • Arquitectura y construcción: Para calcular longitudes que requieran medidas precisas.
  • Navegación: Para identificar la distancia más pequeña entre dos lugares.
  • Topografía: Para elaborar mapas con alta precisión.

Pero sin duda las aplicaciones de este Teorema las podemos ver más a detalle en la resolución de problemas.

Problemas resueltos aplicando el Teorema de Pitágoras

Para resolver problemas debemos representar situaciones de forma geométrica, con el fin de expresar un triángulo rectángulo y de esta forma aplicar la fórmula del teorema para calcular una longitud.

Problema 1

¿Cuál es la distancia máxima que una persona puede nadar en una piscina de forma rectangular
que mide 24 m de largo y 10 m de ancho si solo puede hacerlo en línea recta?

Desarrollo:

Si solo puede nadar en línea recta, la distancia máxima corresponde a la diagonal de la superficie de la piscina. Tal como se muestra en la siguiente imagen:

Se puede observar que la diagonal de la piscina está determinada por triángulos rectángulos, cuyos bordes son los catetos y la diagonal que debemos calcular es la hipotenusa.

Aplicamos el teorema de Pitágoras para resolver el problema

$$ x^{2} = 24^{2} + 10^{2} $$

$$ x^{2} = 576 + 100 $$

$$ x^{2} = 676 $$

$$ \sqrt{x^{2}} = \sqrt{676} $$

$$ \boxed{x = 26} $$

Respuesta: La distancia máxima que una persona puede nadar en la piscina en línea recta es de 26 metros.

Problema 2

Una escalera con una extensión de 8 m se encuentra apoyada en una pared. Si el punto de
contacto con el suelo está a 2 metros de la base de dicha pared, ¿Cuál es la altura alcanzada
por la escalera?

Desarrollo:

Si la escalera está apoyada en una pared significa que la pared con el piso forman un ángulo recto, entonces estos son catetos y la escalera la hipotenusa.

Aplicamos el teorema de Pitágoras para resolver el problema

$$ 8^{2} = c^{2} + 2^{2} $$

$$ 8^{2} - 2^{2} = c^{2} $$

$$ 64 - 4 = c^{2} $$

$$ 60 = c^{2} $$

$$ \sqrt{60} = \sqrt{c^{2}} $$

Como no es una raíz exacta la descomponemos

$$ \boxed{2\sqrt{15} = c} $$

Respuesta: La escalera alcanza una altura de \( 2\sqrt{15} m \), aproximadamente 7,74 metros.

Demostración del Teorema de Pitágoras

Existen muchas demostraciones del Teorema de Pitágoras, entre ellas tenemos: la demostración China: El Zhoubi Suanjing y el Jiuzhang Suanshu, la de Euclides, Pappus, Bhaskara, Leonardo Da Vinci, Garfield, mediante el Geoplano y la recíproca, pero sin duda la más común es la supuesta demostración del mismo Pitágoras.

Esta demostración se basa en la semejanza de triángulos, donde se representa geométricamente que la suma del área de los cuadrados a y b son igual al área del cuadrado c, tal como se muestra a continuación:

Infografías del Teorema de Pitágoras

Explicación en Video

Recursos

Ejercicios

Problemas

Ejercicios interactivos

Descargables

La siguiente carpeta de Google drive recopila todo el material creado para este tema, es decir, lo mismo que lo publicado anteriormente en un solo enlace.

Además encontrarás la carpeta con material extra exclusivo con los recursos compartidos por los miembros.

¿Tienes recursos como presentaciones o guías que quieres compartir con la comunidad? Puedes enviarlas a través de la sección CONTACTO para agregar a las carpetas.

Diego Gallardo

Profesor de Matemática en enseñanza básica y media, aficionado a la creación de contenidos y fan de pederse en el cerro ⛺.

Subir