5 Ejercicios sobre el Teorema de Pitágoras en Nivel difícil con Respuestas

Comenzamos calculando ‘x’, este corresponde a la hipotenusa del triangulo rectángulo más pequeño.

Datos:

• Cateto (a) = 3 cm
• Cateto (b) = 4 cm
• Hipotenusa (c) = x

$$ c^{2} = a^{2} + b^{2} $$

$$ x^{2} = 3^{2} + 4^{2} $$

$$ x^{2} = 9 + 16 $$

$$ x^{2} = 25 $$

$$ x^{2} = 25 \ / \quad \sqrt{} $$

$$ \sqrt{x^{2}} = \sqrt{25} $$

$$ \left|x \right| = 5 $$

$$ x = 5 $$

Entonces la medida de x es 5 cm, con esto podemos calcular la media de y.

Datos:

• Cateto (a) = 5 cm
• Cateto (b) = 12 cm
• Hipotenusa (c) = y

$$ c^{2} = a^{2} + b^{2} $$

$$ y^{2} = 5^{2} + 12^{2} $$

$$ y^{2} = 25 + 144 $$

$$ y^{2} = 169 $$

$$ y^{2} = 169 \ / \quad \sqrt{} $$

$$ \sqrt{y^{2}} = \sqrt{169} $$

$$ \left|y \right| = 13 $$

$$ y = 13 $$

Entonces la medida de y es 13 cm.

Comenzamos calculando ‘x’ que corresponde al cateto del triangulo rectángulo.

Datos:

• Cateto (a) = x
• Cateto (b) = 8 cm
• Hipotenusa (c) = 17

$$ c^{2} = a^{2} + b^{2} $$

$$ 17^{2} = x^{2} + 8^{2} $$

$$ 289 = x^{2} + 64 $$

$$ 289 = x^{2} + 64 \ / \quad + (-64) $$

$$ 289 + (-64) = x^{2} + 64 + (-64) $$

$$ 225 = x^{2} $$

$$ 225 = x^{2} \ / \quad \sqrt{} $$

$$ \sqrt{225} = \sqrt{x^{2}} $$

$$ 15 = \left|x \right| $$

$$ 15 = x $$

Entonces la medida de x es 15 cm. Con esto podemos calcular la medida de ‘y’ realizando una sustracción.

$$ y = 25 – 15 $$

$$ y = 10 $$

Con la medida de y (10 cm) calculamos ‘z’.

Datos:

• Cateto (a) = 8 cm
• Cateto (b) = 10 cm
• Hipotenusa (c) = z

$$ c^{2} = a^{2} + b^{2} $$

$$ z^{2} = 8^{2} + 10^{2} $$

$$ z^{2} = 64 + 100 $$

$$ z^{2} = 164 $$

$$ z^{2} = 164 \ / \quad \sqrt{} $$

$$ \sqrt{z^{2}} = \sqrt{164} $$

$$ \left|z \right| = \sqrt{4 \cdot 41} $$

$$ z = \sqrt{4} \cdot \sqrt{41} $$

$$ z = 2 \sqrt{41} $$

Por lo tanto, la medida de z es \(2 \sqrt{41} \) cm.

Calculamos la medida de x

Datos:

• Cateto (a) = 12 cm
• Cateto (b) = 20 cm
• Hipotenusa (c) = x

$$ c^{2} = a^{2} + b^{2} $$

$$ x^{2} = 12^{2} + 20^{2} $$

$$ x^{2} = 144 + 400 $$

$$ x^{2} = 544 \ / \quad \sqrt{} $$

$$ \sqrt{x^{2}} = \sqrt{544} $$

$$ \left|x \right| = \sqrt{16 \cdot 34} $$

$$ x = \sqrt{16} \cdot \sqrt{34} $$

$$ x = 4 \sqrt{34} $$

Entonces la medida de x es \(4 \sqrt{34} \) cm

Calculamos la medida de y.

Datos:

• Cateto (a) = y cm
• Cateto (b) = 20 cm
• Hipotenusa (c) = 29 cm

$$ c^{2} = a^{2} + b^{2} $$

$$ 29^{2} = y^{2} + 20^{2} $$

$$ 841 = y^{2} + 400 $$

$$ 841 = y^{2} + 400 \ / \quad + (-400) $$

$$ 841 + (-400) = y^{2} + 400 + (-400) $$

$$ 441 = y^{2} \ / \quad \sqrt{} $$

$$ \sqrt{441} = \sqrt{y^{2}} $$

$$ 21 = \left|y \right| $$

$$ 21 = y $$

Entonces la medida de y es 21 cm

Tenemos el cuadrado ABCD de medida 3 cm y el triángulo rectángulo de catetos 3 cm y 4 cm. Para calcular el perímetro se debe calcular la hipotenusa.

Datos:

• Cateto (a) = 3 cm
• Cateto (b) = 4 cm
• Hipotenusa (c) = x

$$ c^{2} = a^{2} + b^{2} $$

$$ x^{2} = 3^{2} + 4^{2} $$

$$ x^{2} = 9 + 16 $$

$$ x^{2} = 25 $$

$$ x^{2} = 25 \ / \quad \sqrt{} $$

$$ \sqrt{x^{2}} = \sqrt{25} $$

$$ \left|x \right| = 5 $$

$$ x = 5 $$

Entonces la medida de la hipotenusa es 5 cm.

Ahora para calcular el perímetro se deben sumar los lados de la figura.

Calculando el perímetro:

$$ P = 3 + 3 + 4 + 5 + 3 = 18 $$

Por lo que el perímetro es 18 cm

Calculando el área:

Para esto se debe calcular el área del cuadrado y luego la del triangulo para sumarlas.

Sumamos las áreas.

$$ A_{t} = 9 \ cm^{2} + 6 \ cm^{2}$$

$$ A_{t} = 15 \ cm^{2}$$

Por lo tanto, el área de la figura es 15 cm².

Comenzamos calculando las dos medidas faltantes, la altura y la medida de la base completa o el trozo que falta por si solo.

Como primero cálculo el perímetro comenzaré con la hipotenusa del triangulo rectángulo más grande, es decir, la base completa de la figura.

Datos:

• Cateto (a) = 24 cm
• Cateto (b) = 32 cm
• Hipotenusa (c) = x

$$ c^{2} = a^{2} + b^{2} $$

$$ x^{2} = 24^{2} + 32^{2} $$

$$ x^{2} = 576 + 1024 $$

$$ x^{2} = 1600 $$

$$ x^{2} = 1600 \ / \quad \sqrt{} $$

$$ \sqrt{x^{2}} = \sqrt{1600} $$

$$ \left|x \right| = 40 $$

$$ x = 40 $$

Por lo tanto, la medida de la base es 40 cm.

Calculando el perímetro:

Sumamos los lados de la figura

$$ P = 24 + 32 + 40 = 96 $$

Entonces el perímetro de la figura es 96 cm.

Calculando el área:

Para calcular el área aplicamos la fórmula para el área de triángulos.

Fórmula \(A = \frac{b \cdot h}{2} \)

Datos:

• b = 24 cm
• h = 32 cm

$$ A = \frac{24 \cdot 32}{2} $$

$$ A = \frac{768}{2} $$

$$ A = 384 $$

Por lo tanto, el área de la figura es 384 cm².