5 Problemas sobre el Teorema de Pitágoras con Respuesta

05/01/2023 · Actualizado: 02/01/2024

Cinco problemas resueltos y explicados paso a paso sobre el Teorema de Pitágoras para que practiques este tema.

Índice de contenido

Problema 1

Una escalera de 3 m está apoyada contra un árbol perpendicular al suelo. Si la distancia de la base de la escalera al árbol es de 1 m, ¿a qué distancia del suelo se encuentra la parte más alta de la escalera?

Ver procedimiento y respuesta

Explicación: La escalera, parte del árbol hasta donde llega la punta de la escalera y el piso forman un triangulo rectángulo tal como se muestra en la siguiente imagen.

Datos:

  • Hipotenusa (c): 3 m
  • Cateto (a): x
  • Cateto (b): 1 m

Desarrollo:

$$ c^{2} = a^{2} + b^{2} $$

$$ 3^{2} = x^{2} + 1^{2} $$

$$ 9 = x^{2} + 1 $$

$$ 9 = x^{2} + 1 \ / \quad + (-1) $$

$$ 9 + (-1) = x^{2} + 1 + (-1) $$

$$ 8 = x^{2} $$

$$ 8 = x^{2} \ / \quad \sqrt{} $$

$$ \sqrt{8} = \sqrt{x^{2}} $$

$$ \sqrt{4 \cdot 2} = \left|x \right| $$

$$ \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = x $$

$$ 2 \sqrt{2} = x $$

Respuesta:

La punta de la escalera se encuentra a \( 2 \sqrt{2} \ m \) del suelo.

Problema 2

Julieta está encumbrando un volantín con un hilo de 100 m. Cuando el hilo está totalmente tenso, la altura del volantín al nivel de su mano es de 80 m. Sin considerar la estatura de Julieta, ¿a qué distancia se encuentra ella de este punto?

Ver procedimiento y respuesta

Explicación: El hilo, la altura que alcanza el volantín y la distancia a la que se encuentra el volantín, forma un triángulo rectángulo.

Datos:

  • Hipotenusa (c): 100 m
  • Cateto (a): x
  • Cateto (b): 80 m

Desarrollo:

$$ c^{2} = a^{2} + b^{2} $$

$$ 100^{2} = x^{2} + 80^{2} $$

$$ 10000 = x^{2} + 6400 $$

$$ 10000 = x^{2} + 6400 \ / \quad + (-6400) $$

$$ 10000 + (-6400) = x^{2} + 6400 + (-6400) $$

$$ 3600 = x^{2} $$

$$ 3600 = x^{2} \ / \quad \sqrt{} $$

$$ \sqrt{3600} = \sqrt{x^{2}} $$

$$ 60 = \left|x \right| $$

$$ 60 = x $$

Respuesta:

El volantín se encuentra a una distancia de 60 m de Julieta.

Problema 3

Un terreno mide 100 m de largo por 50 m de ancho. Pedro recorre el ancho y el largo y Juan cruza por la diagonal. Aproximadamente, ¿Cuántos metros de caminata se ahorra Juan?

Ver procedimiento y respuesta

Explicación: El problema afirma que Juan camina menos que Pedro, por lo que debemos calcular la cantidad de metros que recorre cada uno y restarlos para obtener la diferencia.

Pedro: Recorre el ancho (50 m) y el largo (100 m), entonces se deben sumar las cantidades.

$$ 100 \ m + 50 \ m = 150 \ m $$

Juan: Recorre la diagonal, entonces como el terreno es rectangular se puede concluir que se forman dos triángulos rectángulos iguales.

Datos:

  • Hipotenusa (c): x
  • Cateto (a): 50 m
  • Cateto (b): 100 m

Desarrollo:

$$ c^{2} = a^{2} + b^{2} $$

$$ x^{2} = 50^{2} + 100^{2} $$

$$ x^{2} = 2500 + 10000 $$

$$ x^{2} = 12500 $$

$$ x^{2} = 12500 \ / \quad \sqrt{} $$

$$ \sqrt{x^{2}} = \sqrt{12500} $$

$$ \left|x \right| = \sqrt{2500 \cdot 5} $$

$$ x = \sqrt{2500} \cdot \sqrt{5} $$

$$ x = 50 \sqrt{5} $$

$$ x \approx 111,803 $$

Entonces Juan recorre aproximadamente 111,803 m. Ahora calculamos la diferencia.

$$ 150 \ m – 111,803 \ m = 38,197 \ m $$

Respuesta:

Juan se ahorra 38,197 m de caminata aproximadamente.

Problema 4

Una rampa tiene una altura de 11 m y su punto de inicio se encuentra a 60 m de distancia de una pared. ¿Cuál es la longitud de la rampa?

Ver procedimiento y respuesta

Explicación: La rampa, la pared y el piso forman un triángulo rectángulo, del cual se debe calcular la medida de la rampa.

problemas teorema de pitágoras

Datos:

  • Hipotenusa (c): x
  • Cateto (a): 11 m
  • Cateto (b): 60 m

Desarrollo:

$$ c^{2} = a^{2} + b^{2} $$

$$ x^{2} = 11^{2} + 60^{2} $$

$$ x^{2} = 121 + 3600 $$

$$ x^{2} = 3721 $$

$$ x^{2} = 3721 \ / \quad \sqrt{} $$

$$ \sqrt{x^{2}} = \sqrt{3721} $$

$$ \left|x \right| = 61 $$

$$ x = 61 $$

Respuesta:

La longitud de la rampa es de 61 metros.

Problema 5

Un poste de 10 m de altura se afirmará mediante cables desde la parte más alta hasta dos puntos ubicados en el suelo, a 3 m y 4 m del poste. Aproximadamente, ¿Cuánto cable se necesita?

Ver procedimiento y respuesta

Explicación: Se deben realizar dos cálculos para obtener las medidas de los cables que afirmarán al poste. Esto mediante mediante los triángulos rectángulos que se forman con el poste, los cables y el piso.

problemas teorema de pitágoras

Calculando el cable 1:

Datos:

  • Hipotenusa (c): x
  • Cateto (a): 10 m
  • Cateto (b): 3 m

Desarrollo:

$$ c^{2} = a^{2} + b^{2} $$

$$ x^{2} = 10^{2} + 3^{2} $$

$$ x^{2} = 100 + 9 $$

$$ x^{2} = 109 $$

$$ x^{2} = 109 \ / \quad \sqrt{} $$

$$ \sqrt{x^{2}} = \sqrt{109} $$

$$ \left|x \right| = \sqrt{109} $$

$$ x \approx 10,44 $$

Por lo tanto, se necesita aproximadamente 10,44 m para el cable 1.

Calculando el cable 2:

Datos:

  • Hipotenusa (c): x
  • Cateto (a): 10 m
  • Cateto (b): 4 m

Desarrollo:

$$ c^{2} = a^{2} + b^{2} $$

$$ x^{2} = 10^{2} + 4^{2} $$

$$ x^{2} = 100 + 16 $$

$$ x^{2} = 116 $$

$$ x^{2} = 116 \ / \quad \sqrt{} $$

$$ \sqrt{x^{2}} = \sqrt{116} $$

$$ \left|x \right| = \sqrt{116} $$

$$ x \approx 10,77 $$

Por lo tanto, se necesita aproximadamente 10,77 m para el cable 2.

Sumando ambos cables:

$$ 10,44 \ m + 10,77 \ m = 21,21 \ m $$

Respuesta:

Se necesita aproximadamente 21,21 m de cable para afirmar el poste.

Resolución en video

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Aquí terminan los 5 Problemas sobre el Teorema de Pitágoras.

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Si te queda alguna duda sobre los problemas expuestos aquí sobre el Teorema de Pitágoras, te invito a dejar un comentario, y finalmente no te vayas sin compartir con tus amig@s estos problemas.

Diego Gallardo

Profesor de Matemática en enseñanza básica y media, aficionado a la creación de contenidos y fan de pederse en el cerro ⛺.

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