Propiedades de Logaritmos

30/06/2022 · Actualizado: 30/06/2022

Comprender y aplicar las propiedades de logaritmos para el producto, la división, una potencia de la base, logaritmo de la base, logaritmo de la unidad y cambio de base.

Las propiedades de logaritmos nacen como una extensión de las mismas propiedades de las potencias, que a su vez dan origen a las propiedades de las raíces, y aquí te enseñaré a aplicarlas a los logaritmos en ejercicios rutinarios.

Índice de contenido

Logaritmo de la base

Si 'a' es un números real positivo distinto de 1, entonces se cumple que:

\log_{a} a = 1

Esto debido a que todo número elevado a uno es igual al mismo número.

Ejemplo 1: Calcular \log_{3} 3 =

Respuesta: \log_{3} 3 = 1

Ejemplo 2: \log_{12} 12 =

Respuesta: \log_{12} 12 = 1

Logaritmo de la unidad

Si 'a' es un números real positivo distinto de 1, entonces se cumple que:

\log_{a} 1 = 0

Esto debido a que todo número elevado a cero es igual a uno.

Ejemplo 1: Calcular \log_{5} 1 =

Respuesta: \log_{5} 1 = 0

Ejemplo 2: \log_{17} 1 =

Respuesta: \log_{17} 1 = 0

Logaritmo de una potencia de la base

Sean 'b' y 'x' números reales positivos con b \neq 1 y 'n' un número real, se cumple lo siguiente:

\log_{b} \left ( x^{n} \right ) = n \cdot \log_{b} \left ( x \right )

Ejemplo 1: Calcular \log_{7} \left ( 49^{21} \right ) =

Desarrollo:

\log_{7} \left ( 49^{21} \right ) = 21 \cdot \log_{7} \left ( 49 \right )

\log_{7} \left ( 49^{21} \right ) = 21 \cdot 2

Respuesta: \log_{7} \left ( 49^{21} \right ) = 42

Ejemplo 2: Calcular \log_{3} \left ( \sqrt[5]{81} \right ) =

Desarrollo:

\log_{3} \left ( \sqrt[5]{81} \right ) = \log_{3} \left ( 81^{\frac{1}{5}} \right )

\log_{3} \left ( \sqrt[5]{81} \right ) = \log_{3} \left ( \left (3^{4} \right )^{\frac{1}{5}} \right )

\log_{3} \left ( \sqrt[5]{81} \right ) = \log_{3} \left ( 3^4 \cdot {\frac{1}{5}} \right )

\log_{3} \left ( \sqrt[5]{81} \right ) = \log_{3} \left ( 3^{\frac{4}{5}} \right )

\log_{3} \left ( \sqrt[5]{81} \right ) = \frac{4}{5} \cdot \log_{3} \left ( 3 \right )

\log_{3} \left ( \sqrt[5]{81} \right ) = \frac{4}{5} \cdot 1

Respuesta: \log_{3} \left ( \sqrt[5]{81} \right ) = \frac{4}{5}

Logaritmo del producto

Sean 'b', 'x' e 'y' números reales positivos con b \neq 1, entonces se cumple que:

\log_{b} \left ( x \cdot y \right ) = \log_{b} x + \log_{b} y

Ejemplo 1: Calcular \log_{6} \left ( 6 \cdot 36 \right ) =

Desarrollo:

\log_{6} \left ( 6 \cdot 36 \right ) = \log_{6} 6 + \log_{6} 36

\log_{6} \left ( 6 \cdot 36 \right ) = 1 + 2

Respuesta: \log_{6} \left ( 6 \cdot 36 \right ) = 3

Ejemplo 2: Calcular \log_{4} \left ( 256 \cdot 16 \right ) =

Desarrollo:

\log_{4} \left ( 256 \cdot 16 \right ) = \log_{4} 256 + \log_{4} 16

\log_{4} \left ( 256 \cdot 16 \right ) = 4 + 2

Respuesta: \log_{4} \left ( 256 \cdot 16 \right ) = 6

Logaritmo del cociente

Sean 'b', 'x' e 'y' números reales positivos con b \neq 1, entonces se cumple que:

\log_{b} \left ( x \div y \right ) = \log_{b} x - \log_{b} y

Ejemplo 1: Calcular \log_{2} \left ( 32 \div 8 \right ) =

Desarrollo:

\log_{2} \left ( 32 \div 8 \right ) = \log_{2} 32 - \log_{2} 8

\log_{2} \left ( 32 \div 8 \right ) = 5 - 3

Respuesta: \log_{2} \left ( 32 \div 8 \right ) = 2

Ejemplo 2: Calcular \log_{8} \left ( 262.144 \div 512 \right ) =

Desarrollo

\log_{8} \left ( 262.144 \div 512 \right ) = \log_{8} 262.144 - \log_{8} 512

\log_{8} \left ( 262.144 \div 512 \right ) = 6 - 3

Respuesta: \log_{8} \left ( 262.144 \div 512 \right ) = 3

Cambio de base

Sean 'a' y 'b' números reales positivos diferentes de 1 y 'x' un número real positivo, se cumple:

\log_{a} \left ( x \right ) = \frac{\log_{b} x}{\log_{b} a}

Es decir, es posible expresar un logaritmo de una base cualquiera en otra base.

Ejemplo 1: Calcular \log_{8} \left ( 4 \right ) =

Desarrollo:

\log_{8} \left ( 4 \right ) = \frac{\log_{2} 4}{\log_{2} 8}

Respuesta: \log_{8} \left ( 4 \right ) = \frac{2}{3}

Ejemplo 2: Calcular \log_{81} \left ( 9 \right ) =

\log_{81} \left ( 9 \right ) = \frac{\log_{3} 9}{\log_{3} 81}

\log_{81} \left ( 9 \right ) = \frac{2}{4}

Respuesta: \log_{81} \left ( 9 \right ) = \frac{1}{2}

Recursos

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Guías de aprendizaje

WordVer carpeta

Diego Gallardo

Profesor de Matemática en enseñanza básica y media, aficionado a la creación de contenidos y fan de pederse en el cerro ⛺.

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