Leonhard Euler

Leonhard Euler fue uno de los matemáticos más prolíficos y trascendentales de todos los tiempos. Su genio abarcó desde la matemática pura hasta las ciencias aplicadas, dejando una huella profunda en áreas tan diversas como la geometría, el cálculo, la teoría de números, la física y la astronomía.

Nacimiento: 15 de Abril de 1707
Fallecimiento: 18 de Septiembre de 1783
Contribuciones:
- Teoría de números.
- Notación matemática.
- Análisis matemático.
- Entre otras.

Ocupación

- Filósofo
- Matemático
- Físico

Obras

- Instituciones del cálculo diferencial (1755)
- Instituciones del cálculo integral (1768-1770)
- Introducción al álgebra (1770)
Entre muchas más

Biografía de Leonhard Euler

Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza. Fue el primer hijo de Paul Euler, un pastor calvinista con formación en matemáticas, y Marguerite Brucker. Al poco tiempo de su nacimiento, la familia se trasladó al pueblo de Riehen, donde Leonhard vivió su infancia junto a sus hermanas Anna Maria y Maria Magdalena.

Desde muy joven, Euler demostró un talento excepcional. Recibió educación básica de su padre y luego fue enviado a Basilea para continuar sus estudios. A los trece años se matriculó en la Universidad de Basilea, donde estudió filosofía y matemáticas. Su talento fue rápidamente identificado por Johann Bernoulli, uno de los matemáticos más prestigiosos de Europa en ese momento, quien aceptó instruirlo en clases privadas. Bernoulli desempeñó un rol clave en su formación, convenciendo incluso a su padre de que debía dedicarse por completo a las matemáticas.

En 1723, Euler obtuvo el título de maestro en Filosofía, y en 1726 completó su doctorado con una tesis titulada De Sono, dedicada al estudio de la propagación del sonido. Ese mismo año, participó en un concurso de la Academia Francesa de Ciencias, donde obtuvo el segundo lugar por un trabajo sobre la posición óptima del mástil en un barco. Aunque no ganó, demostraría luego su superioridad al ganar ese premio en doce ocasiones posteriores.

Ingreso a la Academia de San Petersburgo

Gracias a la recomendación de su amigo Daniel Bernoulli, Euler recibió en 1726 una oferta para integrarse en la Academia de Ciencias de Rusia, en San Petersburgo. Aceptó la propuesta y llegó a la capital rusa el 17 de mayo de 1727. Comenzó trabajando en el área de medicina, pero rápidamente fue transferido al departamento de matemáticas, donde colaboró estrechamente con Daniel Bernoulli.

La Academia, fundada por Pedro el Grande, ofrecía un ambiente científico vibrante, aunque políticamente inestable. Tras la muerte de la emperatriz Catalina I, la situación se complicó debido al ascenso del niño emperador Pedro II y al creciente control de la nobleza, que desconfiaba de los científicos extranjeros. Aun así, Euler fue escalando posiciones y en 1731 fue nombrado profesor de física.

En 1734 se casó con Katharina Gsell, con quien tuvo trece hijos, aunque solo cinco llegaron a la adultez. Su hijo mayor, Johann Euler, también se convirtió en matemático y astrónomo.

Etapa en Berlín

En 1741, Euler aceptó la invitación de Federico II el Grande y se trasladó a Berlín. Permaneció allí 25 años y escribió más de 380 artículos científicos, incluyendo algunas de sus obras más influyentes: Introductio in analysin infinitorum (1748) y Institutiones calculi differentialis (1755).

Además, fue tutor de la princesa de Anhalt-Dessau y escribió para ella más de 200 cartas sobre temas científicos, reunidas en la obra Cartas a una princesa alemana, una de sus publicaciones más populares y accesibles.

Pese a su productividad, su relación con Federico II se deterioró. El rey prusiano prefería la compañía de filósofos como Voltaire, y consideraba a Euler una figura demasiado religiosa y poco refinada. Las tensiones y humillaciones, sumadas a problemas de salud, lo llevaron a abandonar Berlín.

Retorno a Rusia y últimos años

Euler regresó a San Petersburgo en 1766, invitado por la emperatriz Catalina la Grande. Aunque ya presentaba una grave pérdida de visión, continuó trabajando con asombrosa tenacidad. En 1771, un incendio destruyó su casa y casi le cuesta la vida. Dos años después murió su esposa Katharina, y Euler se casó nuevamente con Salome Abigail Gsell, hermana de su primera esposa.

A pesar de su ceguera total a partir de 1776, dictó trabajos a sus asistentes, incluyendo a su hijo Johann. Conservaba una memoria prodigiosa: podía recitar la Eneida completa y calcular sin ayuda fórmulas trigonométricas complejas o potencias de números primos.

Leonhard Euler falleció el 18 de septiembre de 1783 tras sufrir un accidente cerebrovascular. Fue enterrado en San Petersburgo junto a su esposa. Sus restos fueron más tarde trasladados al Monasterio de Alejandro Nevski. Su epitafio, escrito por el matemático francés Nicolas de Condorcet, resume su vida: “Dejó de calcular y de vivir”.

Contribuciones a las Matemáticas

Leonhard Euler revolucionó prácticamente todas las ramas de las matemáticas. Se estima que escribió más de 800 publicaciones y 30 000 páginas. Su obra completa, Opera Omnia, aún no ha sido totalmente publicada, y se considera que más del 90% de su contenido sigue inexplorado.

Notación matemática

Euler introdujo y estandarizó símbolos que hoy consideramos básicos:

• \( f(x) \): notación funcional moderna.
• \(e\): la base del logaritmo natural, también llamada número de Euler.
• \(\pi\): como constante universal del círculo.
• \(i\): unidad imaginaria \(\sqrt{-1}\)​.
• \(\Sigma\): sumatoria.
• Diagramas de Euler: predecesores de los diagramas de Venn para representar conjuntos y proposiciones lógicas.

Su capacidad de simplificar y sistematizar la notación ayudó a hacer las matemáticas más accesibles y precisas.

Análisis matemático

Euler impulsó el cálculo infinitesimal como ningún otro matemático del siglo XVIII. Aportó al estudio de las series, las funciones exponenciales y las funciones complejas:

• Definición del número e como:
  $$ e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n $$
• Serie de Taylor:
  $$ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $$
• Fórmula de Euler:
  $$ e^{i\varphi} = \cos(\varphi) + i\sin(\varphi) $$
• Identidad de Euler:
  $$ e^{i\pi} + 1 = 0 $$

Esta última conecta cinco constantes fundamentales: \(e\), \(i\), \(\pi\), \(1\) y \(0\).

Euler también elaboró el análisis complejo, desarrolló la función gamma y creó métodos para resolver integrales con límites complejos.

Teoría de números

Euler perfeccionó y generalizó resultados de Fermat:

• Función totiente \(\varphi(n)\): número de enteros menores que \(n\) que son coprimos con él.
• Teorema de Euler:
  $$ a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n} $$
• Producto de Euler para la función zeta:
  $$ \zeta(s) = \prod_{p \text{ primo}} \frac{1}{1 - p^{-s}} $$

Además, demostró que existen infinitos números primos, contribuyó al teorema de los cuatro cuadrados y fue precursor del teorema de los números primos.

Geometría, topología y grafos

En 1736 resolvió el famoso problema de los puentes de Königsberg, sentando las bases de la teoría de grafos. De allí surgió el concepto de ciclo euleriano.

También formuló la fórmula de Euler para poliedros:

$$ V - E + F = 2 $$

donde \(V\) son vértices, \(E\) aristas y \(F\) caras. Esta fórmula es la base de la topología moderna.

Descubrió la recta de Euler, que une tres puntos notables de un triángulo: el ortocentro, el baricentro y el circuncentro.

Matemática aplicada y física

Euler aplicó las matemáticas a problemas de la mecánica, la hidráulica, la óptica y la astronomía:

• Ecuaciones de Euler en mecánica de fluidos.
• Ecuación de Euler-Bernoulli para estructuras mecánicas.
• Ecuaciones de Euler-Lagrange, base del cálculo variacional.
• Constante de Euler-Mascheroni:
  $$ \gamma = \lim_{n\rightarrow \infty} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln(n) \right) $$

Además, calculó órbitas planetarias, predijo eclipses y contribuyó a las tablas de navegación. En óptica, desafió a Newton proponiendo la teoría ondulatoria de la luz.

Música, lógica y otras ciencias

En su obra Tentamen novae theoriae musicae (1739), intentó matematizar la teoría musical, aunque sin gran repercusión. También introdujo el uso de curvas cerradas para representar razonamientos lógicos: los famosos diagramas de Euler.