Hipotenusa

➤ ¿Cuál es la definición y la fórmula para calcular la hipotenusa?, la etimología y como sacarla dependiendo de los datos. ¡Descúbrelo aquí!

Definición

Etimológicamente el término procede del latín 'hypotenūsa' y a su vez del griego 'υποτεινουσα' (hypoteinousa), un compuesto de hipó ‘debajo’ y téino ‘estirar’. Es una terminación en femenino del participio activo de 'υποτεινειν' hypoteinein que quiere decir fuertemente tensada.

Formula de la hipotenusa

Para calcular la hipotenusa se utiliza el Teorema de Pitágoras, el cual determina que, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos.

En la imagen anterior se representan los catetos con las letras 'a' y 'b', y la hipotenusa con la letra 'c', entonces la formula propuesta por Pitágoras es:

$$ \boxed{c^{2} = a^{2} + b^{2}} $$

A partir de esta ecuación se puede despejar la variable 'c' para obtener el valor de la hipotenusa. El proceso consiste en aplicar la raíz cuadrada a toda la ecuación para despejar 'c'.

$$ c^{2} = a^{2} + b^{2} \quad {\color{Blue}/ \sqrt{}} $$

$$ \sqrt{c^{2}} = \sqrt{a^{2} + b^{2}} $$

$$ \left | c^{2} \right | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} $$

Aquí como se va a trabajar solo con valores positivos debido a que estamos calculando distancias, se utiliza solo el valor positivo en el valor absoluto de 'c'. Obteniendo la formula derivada del Teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa.

$$ \boxed{c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}} $$

Esta formula se suele enseñar solo para agilizar el cálculo, y su uso no es recomendado para el aprendizaje significativo del Teorema de Pitágoras.

Finalmente cabe destacar que para aplicar esta formula, sí o sí, se necesita la medida de ambos catetos, y existe otro método aplicando las razones trigonométricas para calcular la hipotenusa, necesitando un ángulo del triángulo rectángulo y la medida de un cateto que explico más adelante. Además de otro método utilizando el Teorema de Euclides.

¿Cómo calcular la hipotenusa?

Para realizar el cálculo se puede aplicar cualquiera de las dos fórmulas antes descritas. Los pasos son los siguientes:

1. Identificar los datos: En este caso los valores de los catetos 'a' y 'b'.
2. Reemplazar en la fórmula donde la incógnita corresponde a 'c'.
3. Calcular los cuadrados de los catetos.
4. Sumar los resultados de la suma de los catetos.
5. Calcular la raíz cuadrada

De esta forma se puede sacar o hallar el valor de la hipotenusa. Vamos a ver un ejemplo utilizando ambas fórmulas.

Ejemplo

Calcular la medida de la hipotenusa en el siguiente triangulo rectángulo.

Datos:

• Cateto (a): 4 cm
• Cateto (b): 3 cm

Desarrollo y respuesta:

$$ c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} $$

$$ c = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} $$

$$ c = \sqrt{9 + 16} $$

$$ c = \sqrt{25} $$

$$ \boxed{c = 5 cm} $$

Esta no es la única forma de calcular la hipotenusa. Si se traza una altura desde el punto 'C' hasta la longitud \( \overline{BA} \) creando un punto H en el triángulo, se obtienen las longitudes ortogonales de los lados \( \overline{CB} \) y \( \overline{CA} \), los que se expresan como 'm' y 'n'.

Esta es la representación mostrada en el Teorema de Euclides y de acuerdo a esto podemos calcular la hipotenusa sumando \( m + n \). También podríamos calcularla a través de las siguientes relaciones.

• \( h^{2} = m \cdot n \)
• \( a^{2} = n \cdot c \)
• \( b^{2} = m \cdot c \)

Aunque este Teorema es el menos utilizado es una buena opción para calcular la hipotenusa si se cuenta con la medida de un cateto y la proyección ortogonal correspondiente.

¿Cómo calcular la hipotenusa conociendo un solo cateto?

En estos casos a parte del cateto se necesita conocer un ángulo agudo del triángulo rectángulo, así se pueden aplicar las razones trigonométricas de seno, coseno y tangente.

La diferencia con los métodos anteriores es que dependiendo de la posición tendremos el 'cateto opuesto', este se ubica opuesto al ángulo alpha, y el 'cateto adyacente' que se encuentra al lado del ángulo alpha.

Las fórmulas para calcular las razones trigonométricas considerando el ángulo alpha son las siguientes:

Ejemplo

Datos:

• Ángulo: 30º
• Cateto opuesto: 5 cm

Desarrollo y respuesta:

$$ sen(30º) = \frac{5}{c} $$

$$ \frac{1}{2} = \frac{5}{c} $$

$$ c = \frac{5}{\frac{1}{2}} $$

$$ \boxed{c = 10 \ cm} $$

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