Factorización por agrupación

Sumérgete en el mundo de la factorización por agrupación o factor común por agrupación de términos. Aprende a escribir de forma simplificada expresiones algebraicas de manera efectiva, a través de una estrategia sencilla y ejemplos explicados paso a paso.

Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla en forma de multiplicación, esto es simple siempre y cuando se identifique el patrón para aplicar una estrategia en la resolución, en este caso un factor común para agrupar por términos semejantes.

¿Cómo factorizar por agrupación de términos?

Para realizar este tipo de factorización se debe identificar un patrón de factores que sean comunes en la expresión algebraica, estos pueden estar compuestos por números, letras o ambos. Es decir, si se tienen términos semejantes se aplica la factorización por factor común.

La diferencia es que en una expresión algebraica se pueden encontrar dos o más factores comunes, de modo que se deben agrupar para factorizar, y repetir el proceso hasta que no se pueda volver a repetir.

Ejemplo 1

Por ejemplo en la expresión:

$$ ab – abc – 2 + 2c $$

Se tienen dos patrones, los dos primeros términos cumplen el primer patrón ya que comparten las letras \( ab \), por su parte los dos últimos términos son múltiplos de dos.

$$ \color{Red} a\color{Red}b \color{Black} – \color{Red}a\color{Red}b \color{Black}c – \color{Blue} 2 \color{Black}+ \color{Blue} 2\color{Black}c $$

De acuerdo a esto se puede aplicar la factorización por factor común en ambos patrones, obteniendo:

$$ ab \left( 1 – c \right) – 2 \left( 1 – c \right) $$

En la expresión algebraica resultante se puede observar un nuevo patrón, ya que el minuendo y el sustraendo de la resta tienen como factor \( \left( 1 – c \right) \).

Entonces se repite el algoritmo y se factoriza por factor común, resultando:

$$ \boxed{ \left( ab – 2 \right) \left( 1 – c \right)} $$

Siendo la expresión anterior la factorización por agrupación del ejemplo 1, ya que no se puede seguir factorizando.

Cabe destacar que en este caso la expresión algebraica del ejemplo estaba ordenada, pero existen casos donde se debe ordenar para factorizar.

Ejemplo 2

$$ pc + qd + pd + qc $$

Se puede observar que el primer término y el cuarto término tienen el factor común \( c \), y a su vez el segundo y tercer término tienen el factor común \( d \). Por lo que debemos asociar y factorizar por partes.

$$ pc + qc + pd + qd $$

Una vez ordenado, se factoriza por factor común.

$$ c \left( p + q \right) + d \left( p + q \right) $$

Ahora en la expresión se identifica el factor común \( \left( p + q \right) \), por lo que se vuelve a factorizar.

$$ \boxed{ \left( c + d \right) \left( p + q \right) } $$

Tips para la factorización de factor común por agrupación de términos

1. Siempre ordena la expresión antes de comenzar.
2. Al realizar las primeras factorizaciones por agrupamiento, puedes observar que en la expresión resultante se obtiene un nuevo factor común.
3. ¡OJO con los signos! Fíjate que en el ejemplo número 1, al factor común ‘dos’ se le considero el signo negativo de la resta, por esto el ‘uno’ queda positivo y ‘c’ con la operación de resta.
4. Aunque llegues a la factorización final ya sea de binomos, trinomios o polinomios fijate que no sean iguales, ya que si esto sucede deberás elevar al cuadrado, cubo, etc, dependiendo de cuantas veces se repita.

Ejercicios sobre Factorización por agrupación

Desde identificar términos comunes hasta descomponer expresiones algebraicas, cada uno de los siguientes tres ejercicios esta hecho para que apliques lo aprendido.

Aplicando el factor común por agrupación

Factorización de polinomios

En la factorización de polinomios de la forma \( ax^{2} + bx + c \) se utiliza este método, y es muy frecuente que cuando se estudia el factor común por agrupamiento, se realicen ejercicios como el que se muestra a continuación:

$$ x^{2} – 5x + 6 $$

Aunque se suele entregar ya con el primer paso del procedimiento listo, este consiste en separar el segundo término, en este caso \(-5x \), en una suma para obtener 4 términos en la expresión y aplicar la factorización común por agrupación de términos, tal como se muestra:

$$ x^{2} – 2x – 3x + 6 $$

Puedes observar que se escribió el segundo término como \(- 2x – 3x \), y para que no se quede el ejemplo sobre factorización de polinomios por agrupación a la mitad les dejo el procedimiento.

$$ x \left(x – 2 \right) – 3 \left(x – 2 \right) $$

$$ \boxed{ \left( x – 3 \right) \left(x – 2 \right)} $$

Ecuaciones y desigualdades

Se emplea para simplificar expresiones algebraicas, lo que facilita la resolución de ecuaciones y desigualdades.

La única diferencia en términos de procedimiento es que la expresión se iguala a cero, se factoriza y se identifican la o las soluciones.

Otras aplicaciones

Ciertamente es una herramienta valiosa en matemáticas que se utiliza en una amplia gama de contextos para simplificar, resolver y comprender conceptos, pero en problemas complejos, por ejemplo en la ingeniería y computación ayuda con las estructuras resolviendo problemas geométricos y la creación de sistemas complejos como algoritmos, y la optimización de programas.

En la economía y finanzas ayuda a simplificar sistemas matemáticos para su compresión y análisis. En fin su uso es con el fin de comprender y analizar.

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