Números NATURALES (N)

Para conocer lo que los números naturales son, primero debemos repasar brevemente el concepto de los sistemas numéricos. Esta terminología define una serie de conjuntos organizados y regidos por las mismas normas, asimismo todo término incluido en un sistema numérico, está relacionado estrechamente con los otros con los que comparte su categoría. Entre los sistemas numéricos más comunes, podemos conseguir: Números naturales o "N" como es abreviado, enteros, racionales y reales.

Habiendo establecido lo anterior, podemos proceder a conceptualizar a los números naturales. Principalmente debemos enfatizar el hecho de que este sistema numérico involucra a los números que todos conocemos, los que enseñamos a los infantes cuando empiezan a contar. Siempre que deseamos conocer la cantidad de elementos presentes en un conjunto, estamos usando los números naturales.

Este sistema está comprendido por una serie de términos ordenados e infinitos y su base fundamental es la unidad, así como la diversidad de todo elemento presente en la naturaleza. Así como le enseñamos a los pequeños a contar con ellos, el hombre desarrolló estos números con el mismo objetivo.

Historia de los números naturales y su uso en el pasado

Los números naturales fueron los primeros en crearse, con un objetivo primordial y sencillo el cual se trataba de solo contar, una característica innata de los números naturales. Con el pasar del tiempo, las distintas necesidades y complejidades que surgían en la vida del ser humano, sobre todo relacionadas con el comercio o la ingeniería, hicieron necesaria la intervención de nuevos sistemas que ampliaban nuestro concepto de números.

El origen de este sistema numérico no se remonta al inicio del “conteo” en sí, ya que previamente se usaban los dedos o distintos objetos como piedras para expresar cantidades. Fue cuando se empezaron a graficar a través de símbolos, que tenemos como origen a estos mismos. Aproximadamente en el año 400 a.C., en Mesopotamia, podemos examinar a los símbolos predecesores de los que hoy en día tenemos.

Sin embargo, pese a todo esto, es difícil establecer un inicio certero sobre este complejo tema. Tenemos la fecha anteriormente señalada, pero hay quienes afirman que los números tienen incluso más de 3000 años, lo que nos llevaría a 1000 a.C. Claro que sería una falacia tomar esto como una verdad, habrá que esperar que se encuentren más hallazgos para dar un veredicto. Por ahora solo nos enfocaremos en los registros existentes y verificables.

Finalmente, después de siglos, fue gracias a distintos estudiosos tales como Richard Dadekind, Giuseppe Peano, Friedrich Gottlob, John von Neumann, entre algunos otros, que entre el siglo XIX y el siglo XX, se le concedió el título definitivo como conjunto ordenado a este sistema numérico. Por consiguiente se establecieron para estos mismos, una serie de normas que permitirían tener una noción más básica de lo que son. Entre estas verdades inmodificables, podemos señalar las siguientes:

• Todo número encontrado después del 0, va precedido por otro número natural (incluyendo el mismo cero, aunque algunos no lo toman dentro del conjunto, debido a ciertas afirmaciones que denotan que, ya que los números naturales se usan para contar elementos, el cero sería la ausencia de estos).
• Entre un número natural “a” y otro “b”, podemos determinar cuántos números naturales hay de manera finita. Esto resulta una importante aclaración, puesto que nos devela que dentro de los números naturales no encontramos a las fracciones o los decimales.
• Tomando un número natural “X”, siempre tendremos otro mayor. Esto denota la característica de infinidad del conjunto.
• Dado un número natural X, si le sumamos 1, no podremos ver más números naturales entre el resultado y el número X. Otra aclaratoria respecto a los decimales y las fracciones.

Propiedades de los números naturales

Así como ya se ha resaltado a lo largo de este artículo, todo conjunto está regido por las mismas reglas, presenta las mismas características esenciales y cumplen con el desarrollo de las mismas propiedades. En este apartado vamos a explorar un poco lo que esto significa. Hay distintos tipos de propiedades y cada una nos sirve para un fin diferente.

Propiedades según las operaciones matemáticas básicas

Como todos sabemos, hay tres operaciones matemáticas básicas, las cuales son: Suma, resta, multiplicación y división. Estas mismas pueden ser tomadas como propiedades, ya que todo número natural seguirá los mismos lineamientos al involucrarse en alguno de estos ejercicios. Por ejemplo:

• Suma: Independientemente de los números naturales que sumemos, sabemos que estaremos unificando 2 “grupos” en un solo conjunto, es decir, si tenemos un grupo de 4 manzanas y le añadimos 2 manzanas más, obtendremos 6 en total. Hay que tomar en consideración que las 4 manzanas son un grupo y las 2 manzanas otro, pero consecuentemente, realizando la operación de suma o adición, unificamos a los dos en un solo conjunto.
• Resta: La resta o sustracción es el proceso inverso a la suma, pero esto no significa que convierta un conjunto en dos grupos separados. Explicar esta operación será más fácil dando un ejemplo: Si tenemos un grupo de 5 manzanas y decidimos comernos 2, finalmente solo nos quedarán 3 manzanas, en síntesis, un solo conjunto.
• Multiplicación: Para dar una descripción concisa, es válido decir que esta propiedad se basa en la suma continua de un mismo elemento “a”. La cantidad de veces que se sumará este, será establecida por un segundo elemento “b”. Por ejemplo: Si 3 niños tienen 4 manzanas cada uno ¿Cuántas manzanas habrán si las juntan todas? En este caso, tanto el 3 como el 4 pueden ser “a” o “b” respectivamente, aquí sale a relucir la propiedad conmutativa, la cual veremos más adelante.
• División: Esta propiedad si plantea la división de un solo grupo en 2 o más. En este caso se aplicaría el famoso escenario: Si tengo 10 manzanas y quiero dar la misma cantidad de estas a 5 niños ¿Cuántas manzanas debo dar a cada uno? Es la operación inversa a la multiplicación.

Existen otras propiedades que involucran la mezcla de las operaciones matemáticas y que a su vez las regulan. La propiedad conmutativa, la asociativa y la distributiva, son unos de los 3 aspectos fundamentales de la matemática, sobre todo en operaciones con números naturales.

Clausura o interna

Si sumamos o multiplicamos dos números naturales el resultado será otro natural.

Propiedad conmutativa

Esta propiedad solo rige a los números naturales involucrados en la adición y la multiplicación. El principio que desarrollan es que el orden de los factores/sumandos o simplemente números que intervienen en la operación, no alterará el resultado.

Propiedad asociativa

Se aplica cuando encontramos más de 2 cifras en una operación. El principio básico, es la agrupación de elementos con paréntesis para denotar qué números se sumarán o multiplicarán primero para proceder con el resto de la operación.

Propiedad distributiva

En estas operaciones, contrario al caso anterior, combina la multiplicación con el suma y se cumple que:

Elemento neutro

Este elemento debe cumplir que al operarlo con cualquier número "x" perteneciente a N, el resultado seguirá siendo "x", por lo tanto, para la suma es el cero y para la multiplicación es el uno.