Números imaginarios (I)

09/12/2021 · Actualizado: 03/01/2023

Los números imaginarios, son un sub-conjunto de los números complejos. Un numero imaginario se podría describir como, el producto o resultado de un número real por la unidad imaginaria i.

En esta operación, la letra i denota la raíz cuadrada de -1 ( \sqrt{-1} ). Podríamos llamar o denominar al número imaginario como constante imaginaria.

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¿De dónde provienen, o como surgen los números imaginarios?

El nombre de los números imaginarios, les fue acuñado por René Descartes. Esto ocurrió en el siglo XVII, inicialmente lo propuso con intenciones despectivas, aunque este es un concepto válido.

Lo hizo, suponiendo un plano con ejes cartesianos, en este plano los números reales se iban a encontrar sobre el eje horizontal y los números imaginarios, estarían sobre el eje vertical complejo.

Con el fin o intención de otorgarle o brindarle un aspecto mitológico, no solo lo llamaron número imaginario, sino que además se les hizo pertenecer al conjunto de los números denominados complejos.

En caso de que no conozcamos el valor real de i, al menos si sabemos que i elevada a la potencia i sería un número irracional, y este es conocido como: I = ii.

Notación del conjunto de números imaginarios

Este conjunto puede ser denotado por bi. En donde b sería un número real, pero i es la unidad imaginaria.

También se pueden escribir como i-r, acá la r es el número real, mientras que la i es la unidad imaginaria.

Cuando hablamos de los valores de las potencias de la unidad imaginaria, estos se repiten de cuatro en cuatro. Gracias al conjunto de números imaginarios, es posible realizar los cálculos de raíces con índice par y que radiquen en negativo.

Ejemplos de números imaginarios

EquivalenciaNúmero imaginarioRazonamiento
\sqrt{-4} = 2i2iLa \sqrt{-4} no tiene solución en los reales, por lo tanto es un número imaginario. La solución de \sqrt{4} es 2, entonces \sqrt{-4} corresponde a dos unidades imaginarias, es decir, 2i.
\sqrt{-25} = 5i 5iLa \sqrt{-25} no tiene solución en los reales, por lo tanto es un número imaginario. La solución de \sqrt{25} es 5, entonces \sqrt{-25} corresponde a dos unidades imaginarias, es decir, 5i.
\sqrt{-8} = 2 \sqrt{2} i2 \sqrt{2} iLa lógica es la misma que en los anteriores solo que esta raíz no tiene solución perfecta, por lo que se descompone al igual como se trabaja con el conjunto de los números irracionales.

Cabe destacar que este conjunto posee muchos más números, solo basta con crear un plano cartesiano con una recta real y otra imaginaria para encontrarnos con números como -2i, -i, 4i, entre muchos más.

¿Cómo se interpretan geométricamente estos números?

Cuando hablamos de la interpretación geométrica del conjunto de números imaginarios, hablamos de los que se encuentran en el eje vertical dentro del plano complejo, y se les presenta como perpendiculares al eje real.

Una forma en la que podemos ver los números imaginarios es la siguiente, imaginemos una recta numérica típica, esta recta va a aumentar positivamente hacia la derecha, pero la misma recta aumenta de forma negativa hacia el lado izquierdo.

Esto podemos dibujarlo de la siguiente forma, hacemos un eje de coordenadas vertical, pasamos por el 0 del eje horizontal, de este modo se representan números imaginarios que aumentan de forma positiva hacia arriba y de forma negativa hacia abajo.

Propiedades del conjunto de números imaginarios

  • Si partimos de la base que la raíz cuadrada de cualquier número real negativo nos da por resultado un número imaginario.
  • La raíz cuadrada de un número real negativo, nos dará siempre como resultado un número imaginario.
  • El cuadrado de un número imaginario siempre es negativo.
  • El conjunto de números imaginarios se extienden hasta el conjunto de los números complejos.
  • Al igual que los números reales, los números imaginarios no se pueden ordenar de acuerdo a su valor.
  • En el conjunto de números imaginarios, no se cumple 1 > 0 y -1 < 0.
  • De manera formal los números imaginarios no pertenecen al conjunto de números reales, ni tampoco pertenecen al conjunto de los números racionales.
  • El conjunto de números imaginarios, es tan real como cualquier otro número natural, numero entero o número fraccionario, ya que este conjunto de números se ocupan de describir de la misma forma la realidad, y son tan racionales y entendibles como cualquier número irracional.
  • El conjunto de números imaginarios, posee una cantidad infinita de decimales.
  • Cuando se realiza la multiplicación de un numero complejo por una unidad imaginaria, se rota un ángulo de 90º pero este mantiene su valor absoluto.
  • Uno de los valores de la unidad imaginaria i es un número real.

Uso del conjunto

El conjunto de números imaginarios, no solo resulta imprescindible en la Física y la Matemática, sino que además ha permitido que se amplíen y se desarrollen nuevos conceptos.

Los números imaginarios, poseen una utilidad especial en el electromagnetismo, en las ondas radioactivas, las trayectorias especiales, la hidrodinámica y además son indispensables para la resolución de los múltiples problemas matemáticos.

El uso de la unidad imaginaria se puede extender formalmente para la raíz cuadrada de los números negativos y de las raíces cuartas, sextas, y los pares de números negativos, así se logra confirmar el teorema fundamental del algebra. Que dice que toda ecuación algebraica de grado n, que tenga coeficientes complejos tiene al menos una raíz en el campo de los números complejos.

De igual forma, la raíz cuadrada de un número perteneciente a este conjunto es un número complejo, y la raíz de un número complejo generalmente es otro número complejo.

En la física cuántica la unidad imaginaria hace posible simplificar la descripción matemática de todos los estados cuánticos variables en el tiempo.

En la teoría de circuitos y la corriente alterna, la unidad imaginaria es usada para representar algunas magnitudes como los fasores, esto hace posible un tratamiento algebraico mucho más ágil de dichas magnitudes.

En los campos de la ingeniería eléctrica y sus afines, la unidad imaginaria es generalmente escrita como j, de esta forma se evitan confusiones como por ejemplo la intensidad de la corriente eléctrica, que tradicionalmente es denotada por i.

¿Por qué son tan importantes?

Básicamente sin los números imaginarios, no habría sido posible desarrollar las telecomunicaciones, es decir, no existiría la radio la televisión, ni el internet. Y quizá, no estarías hoy leyendo este artículo educativo desde la comodidad de tu computadora, ni tu Tablet o celular.

Los números imaginarios, permitieron también todo tipo de desarrollos tecnológicos y también científicos, desde los radares hasta el GPS, e incluso las resonancias magnéticas y las neurociencias.

La física cuántica permite reducir a todas las partículas a forma de ondas, lo que significa que, los números imaginarios resultan necesarios y fundamentales para la comprensión de ese extraño mundo.

Este conjunto de números no solo podría ser la clave para el futuro, sino que muchos creen que eventualmente estos números podrían servir para responder una de las más grandes incógnitas que dejan perplejos a muchos científicos ¿Qué paso verdaderamente antes del Big Bang y cómo fue que empezó realmente el tiempo?

Diego Gallardo

Profesor de Matemática en enseñanza básica y media, aficionado a la creación de contenidos y fan de pederse en el cerro ⛺.

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